С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.13. Квадратурные формулы Гаусса 175где φ k (x) — k-ый базисный полином Лагранжа (см. стр. 51), построенныйпо узлам (2.136):φ i (x) = (x−x 1)···(x−x i−1 )(x−x i+1 )···(x−x n )(x i −x 1 )···(x i −x i−1 )(x i −x i+1 )···(x i −x n ) .Тогда, выполняя замену переменных (2.135), получими потому( )1dx = d2 (a+b)+ 1 2 (b−a)y = 1 2(b−a) dy,c k =∫ b∫ 1φ k (x)dx = 1 2 (b−a) φ k (y)dy,a−1k = 1,2,...,n,где φ k (y) — k-ый базисный полином Лагранжа, построенный по узламy i , i = 1,2,...,n, которые являются корнями n-го полинома Лежандра.Получается, что веса квадратурной формулы Гаусса для произвольногоинтервала интегрирования [a,b] вычисляются простым умножениемвесов для канонического интервала [−1,1] на множитель 1 2(b − a) —радиус интервала интегрирования.Для интервала [−1,1] узлы квадратурных формул Гаусса (т. е. корниполиномов Лежандра) и их веса тщательно затабулированы дляпервых натуральных чисел n вплоть до нескольких десятков. Обсуждениевычислительных формул и других деталей численных процедурдля их нахождения читатель может найти, к примеру, в книгах [3, 53]и в специальных журнальных статьях. В частности, оказывается, чтовесовые коэффициенты формулы Гаусса с n узлами даются выражением2c k =(1−x 2 k )( L ′ n(x k ) ) 2 , k = 1,2,...,n,где L n (x) — n-ый полином Лежандра в форме, даваемой формулойРодрига (2.104).Конкретные числовые значения узлов и весов квадратур Гауссаприводятся в подробных руководствах по вычислительным методам[2, 3, 9, 15, 16, 56] или в специализированных справочниках, например,в [35, 47]. В частности, в учебнике [3] значения весов и узлов фомулГаусса приведены для небольших n с 16 значащими цифрами, в книге[16] — с 15 значащими цифрами вплоть до n = 16, а в справочниках