С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

138 2. Численные методы анализаОкончательно, скалярное произведение L n (x) на себя равно(2n)!(2 n n!) 2 Z n = 1·2·3·...·2n(2·4·6·...·2n) 2 Z n =22n+1 .Это завершает доказательство предложения.2.11б Основные свойства полиномов ЛежандраВыпишем первые полиномы Лежандра, как они даются формулойРодрига (2.104):L 0 (x) = 1,L 1 (x) = x,L 2 (x) = 1 2 (3x2 −1),L 3 (x) = 1 2 (5x3 −3x), (2.106)L 4 (x) = 1 8 (35x4 −30x 2 +3),L 5 (x) = 1 8 (63x5 −70x 3 +15x),··· .Они с точностью до множителя совпадают с результатом ортогонализацииГрама-Шмидта (2.103). Графики полиномов (2.106) изображенына Рис. 2.19, и они похожи на графики полиномов Чебышёва. В одномсущественном моменте полиномы Лежандра всё же отличаютсяот полиномов Чебышёва: абсолютные значения локальных минимумови максимумов на [−1,1] у полиномов Лежандра различны и не могутбыть сделаны одинаковыми ни при каком масштабировании.Тем не менее, сходство полиномов Лежандра и полиномов Чебышёваподтверждает следующееПредложение 2.11.2 Все нули полиномов Лежандра L n (x) вещественны,различны и находятся на интервале [−1,1].Доказательство. Предположим, что среди корней полинома L n (x),лежащих на [−1,1], имеется s штук различных корней θ 1 , θ 2 , . . . , θ s