С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

120 2. Численные методы анализаРис. 2.17. Интерполяция функции, заданной с погрешностьюзованном элементами произвольной природы, расстоянием (или метрикой)называется определённая на декартовом произведении Y × Yфункция dist с неотрицательными вещественными значениями, удовлетворяющаядля любых f, g, h ∈ Y следующим условиям:(1) dist(f,g) = 0 тогда и только тогда, когда f = g,(2) dist(f,g) = dist(g,f) — симметричность,(3) dist(f,h) ≤ dist(f,g)+dist(g,h) — неравенство треугольника.Фактически, в рассмотренной выше ситуации dist — это какое-торасстояние на пространстве R n+1 всех (n + 1)-мерных вещественныхвекторов. Соответствующая постановка задачи приближения (аппроксимации)будет звучать тогда так:Для заданных набора узлов x i , i = 0,1,...,n, на интервале [a,b]и соответствующих им значений f i , i = 0,1,...,n, и ǫ > 0, найтифункцию g(x) из класса функций G, такую что dist(f,g) < ǫ,где f = (f 0 ,f 1 ,...,f n ) ⊤ и g = (g(x 0 ),g(x 1 ),...,g(x n )) ⊤ .При этом g(x) называют приближающей (аппроксимирующей) функцией,Важнейшей модификацией поставленной задачи служит задачанаилучшего приближения, когда величина ǫ не фиксируется и ищутприближающую (аппроксимирующую) функцию g(x), которая доставляетминимум расстоянию dist(f,g).Согласно классификации §2.1, выписанные выше формулировки являютсядискретными вариантами общей задачи о приближении функ-