С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

126 2. Численные методы анализаКак видим, Φ есть квадратичная форма от аргументов c 1 , c 2 , . . . , c mплюс ещё некоторые линейные члены относительно c j и постоянноеслагаемое 〈f,f〉. Её особенностью является то обстоятельство, что длявсех значений аргументов функция Φ принимает только неотрицательныезначения. Покажем, что она достигает своего минимума.Пусть Ш R = {x ∈ R m | √ x 2 1 +x2 2 +...+x2 m ≤ R} — замкнутыйшар радиуса R с центром в нуле относительно евклидова расстояния.Рассмотрим поведение min c∈ШR Φ(c) в зависимости от R. При увеличенииR значение этого минимума не возрастает, но, в действительности,оно не может уменьшаться, начиная с некоторого R.В самом деле, после приведения к «главным осям» квадратичнаяформа в составе Φ обязательно должна получить вид суммы квадратовс положительными коэффициентами, так как иначе вся Φ была бынеограниченной снизу. Но сумма квадратов неограниченно возрастаетпри увеличении расстояния аргумента c = (c 0 ,c 1 ,...,c m ) до нуля, причёмрастёт быстрее линейных членов. Следовательно, при достаточнобольших значениях R его увеличение уже не окажет никакого влиянияна min c∈ШR Φ(c), и потому мы сможем утверждать, что min c∈R m Φ(c)достигается в некотором шаре Ш R . В силу компактности множестваШ R это означает, что minΦ(c) действительно достигается в некоторойконечной точке из R m .Для определения минимума функции Φ продифференцируем её поc j , j = 1,2,...,m, и приравняем полученные производные к нулю:∂Φ∂c j= −2〈f,ϕ j 〉+2m∑c k 〈ϕ j ,ϕ k 〉 = 0. (2.93)k=1Множитель 2 при сумме всех c k 〈ϕ j ,ϕ k 〉 появляется оттого, что в двойнойсумме из выражения (2.92) слагаемое с c j возникает дважды: одинраз с коэффициентом〈ϕ j ,ϕ k 〉, а другой раз — с коэффициентом〈ϕ k ,ϕ j 〉.В целом, из равенств (2.93) для определения c j получаем системулинейных алгебраических уравненийm∑〈ϕ j ,ϕ k 〉c k = 〈f,ϕ j 〉, j = 1,2,...,m. (2.94)k=1