С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 251— жордановой клетки, отвечающей собственному значению 0, спектральныйрадиус равен нулю. Во-вторых, еслиA—матрица вида (3.30),то ρ(A ⊤ ) = ρ(A) = 0, но ρ(A+A ⊤ ) > 0. Это вытекает из того, что симметричнаяматрица A + A ⊤ — ненулевая, поэтому ‖A + A ⊤ ‖ 2 > 0 и,как следствие, наибольший из модулей её собственных значений строгобольше нуля. Получается, что неверно «неравенство треугольника»ρ(A+A ⊤ ) ≤ ρ(A)+ρ(A ⊤ ).Тем не менее, спектральный радиус является важной характеристикойматрицы, которая описывает асимптотическое поведение её степеней.Предложение 3.3.10 Пусть A — квадратная матрица, вещественнаяили комплексная. Для сходимости степеней A k → 0 при k → ∞необходимо, чтобы ρ(A) < 1, т.е. чтобы спектральный радиус матрицыA был меньше 1.Доказательство. Пустьλ — собственное число матрицыA(возможно,комплексное), а v ≠ 0 — соответствующий ему собственный вектор(который также может быть комплексным). Тогда Av = λv, и потомуA 2 v = A(Av) = A(λv) = λ(Av) = λ 2 v,A 3 v = A(A 2 v) = A(λ 2 v) = λ 2 (Av) = λ 3 v,... ... ,так что в целом(Ak ) v = (λ k )v. (3.31)Если последовательность степеней A k , k = 0,1,2,..., сходится к нулевойматрице, то при фиксированном векторе v нулевой предел имеети вся левая часть выписанного равенства. Как следствие, к нулевомувектору должна сходиться и правая часть в (3.31), причём v ≠ 0. Этовозможно лишь в случае |λ| < 1.Ниже в §3.9б мы увидим, что условие ρ(A) < 1 является, в действительности,также достаточным для сходимости к нулю степенейматрицы A.Рассуждения, с помощью которых доказано Предложение 3.3.10,можно продолжить и несложно вывести весьма тонкие свойства спек-