С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

342 3. Численные методы линейной алгебрыМатрица D −1 (˜L + Ũ) просто выписывается по исходной системе иимеет вид ⎛⎞0 a 12 /a 11 ... a 1n /a 11a 21 /a 22 0 ... a 2n /a 22⎜⎝ .. . (3.101). .. . ⎟⎠a n1 /a nn a n2 /a nn ... 0Но нахождение её спектрального радиуса является задачей, сравнимойпо сложности с выполнением самого итерационного процесса, и потомуприменять его для исследования сходимости метода Якоби непрактично.Для быстрой и грубой оценки спектрального радиуса можновоспользоваться какой-нибудь матричной нормой и результатом Предложения3.3.9.Полезен также следующий достаточный признак сходимости:Предложение 3.9.3 Если в системе линейных алгебраических уравненийAx = b квадратная матрица A имеет диагональное преобладание,то метод Якоби для решения этой системы сходится при любомначальном приближении.Доказательство. Диагональное преобладание в матрице A = (a ij )означает, что|a ii | > ∑ |a ij |, i = 1,2,...,n.j≠iСледовательно,что равносильно∑∣ a ij∣∣∣∣ < 1,a iij≠i( ∑max1≤i≤nj≠ii = 1,2,...,n,∣ )a ij∣∣∣∣ < 1.a iiВ выражении, стоящем в левой части неравенства, легко угадать подчинённуючебышёвскую норму (∞-норму) матрицы D (˜L+Ũ), кото-−1рая была выписана нами в (3.101). Таким образом,∥ D −1 (˜L+Ũ)∥ ∥∞< 1,