С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

94 2. Численные методы анализаЭто система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестныхпеременных γ 1 , γ 2 , . . . , γ n−1 , имеющая матрицу⎛⎞2(h 1 +h 2 ) h 2 0h12 2(h 2 +h 3 ) h 3. 6h 3 2(h 3 +h 4 ) ..,⎜.⎝.. . .. . ..⎟⎠0 h n−1 2(h n−1 +h n )в которой ненулевыми являются лишь три диагонали — главная и соседниес ней — сверху и снизу. Такие матрицы называются трёхдиагональными.(см. §3.8). Кроме того, эта матрица обладает свойством диагональногопреобладания (стр. 222): стоящие на её главной диагоналиэлементы 1 3 (h i +h i+1 ) по модулю больше, чем сумма модулей внедиагональныхэлементов этой же строки. В силу признака Адамара (онрассматривается и обосновывается в §3.2е) такие матрицы неособенны.Как следствие, система линейных уравнений (2.56) относительно γ i ,i = 1,2,...,n − 1, однозначно разрешима при любой правой части, аискомый сплайн всегда существует и единствен. Для нахождения решениясистемы (2.56) с трёхдиагональной матрицей может быть с успехомприменён метод прогонки, описываемый ниже в §3.8.Интересен вопрос о погрешности интерполирования функций и ихпроизводных с помощью кубических сплайнов, и ответ на него даётследующаяТеорема 2.6.1 Пусть f(x) ∈ C p [a,b], p = 1,2,3,4, а S(x) — интерполяционныйкубический сплайн с краевыми условиями (I), (II) или (III),построенный по значениям f(x) на сетке a = x 0 < x 1 < ... < x n = bиз интервала [a,b], с шагом h i = x i −x i−1 , i = 1,2,...,n, причём узлыинтерполяции являются также узлами сплайна. Тогда для k = 0,1,2и k ≤ p справедливо соотношениеmax ∣ f (k) (x)−S (k) (x) ∣ = O(h p−k ),где h = maxh i .ix∈[a,b]При формулировке этого утверждения и далее в этой книге мыпользуемся символом O(·) — «O-большое», введённым Э. Ландау и широкоиспользуемым в современной математике и её приложениях. Для