С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

228 3. Численные методы линейной алгебрыдля рассмотренных выше норм в R 2 . Из аксиом нормы вытекает, чтоединичный шар любой нормы — это множество в линейном векторномпространстве, которое выпукло (следствие неравенства треугольника)и уравновешено, т. е. инвариантно относительно умножения на любойскаляр α с |α| ≤ 1 (следствие абсолютной однородности).Нередко используются взвешенные (масштабированные) вариантынорм векторов, в выражениях для которых каждая компонента берётсяс каким-то положительным весовым коэффициентом, отражающимего индивидуальный вклад в рассматриваемую модель. В частности,взвешенная чебышёвская норма определяется для положительного весовоговектора (γ 1 , γ 2 , . . . , γ n ), γ i > 0, как‖a‖ ∞,γ = max1≤i≤n |γ ia i |.Её единичные шары — различные прямоугольные брусы с гранями,параллельными координатным осям, т. е. прямые произведения интерваловвещественной оси (см. Рис. 3.6). Они являются частным случаеммногомерных интервалов, и в связи с этим обстоятельством взвешеннаячебышёвская норма популярна в интервальном анализе.x 20x 1Рис. 3.6. Шары единичного радиуса во взвешенных чебышёвских нормах.Обобщением конструкции взвешенных норм может служить норма,связанная с некоторой фиксированной неособенной матрицей. Именно,если ‖·‖ — какая-либо векторная норма в R n или C n , аS — неособеннаяn×n-матрица, то можно определить норму векторов как ‖x‖ S = ‖Sx‖.Нетрудно проверить, что все аксиомы векторной нормы удовлетворяются.Мы воспользуемся такой нормой ниже в §3.9б.