С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 403щим образом:⎛ ⎞× × ··· × ×× × ··· × ×H =× . . . . ..⎜ .⎝ .. ⎟ × × ⎠0 × ×Симметричная хессенбергова матрица — это, очевидно, трёхдиагональнаяматрица.Предложение 3.17.1 Любую n × n-матрицу A можно привести кортогонально подобной хессенберговой матрице H = QAQ ⊤ , где Q —произведение конечного числа отражений или вращений.Доказательство. Рассмотрим для определённости преобразования спомощью матриц отражения.Возьмём матрицу отражения Q 1 = I−2uu ⊤ так, чтобы первая компонентавектора Хаусхолдера u была нулевой и при этом⎛ ⎞ ⎛ ⎞a 11 a 11a 21a ′ 21Q 1 a 31=,⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ . ⎠ ⎝0. ⎠a n1 0т. е. занулялись бы элементы a 31 , . . . , a n1 в первом столбце. Нетрудновидеть, что Q 1 выглядит следующим образом⎛ ⎞1 0 ··· 0 00 × ··· × ×Q 1 =0 × . .. .. . ..⎜ . . .⎝ . . .. ⎟ × × ⎠0 × ··· × ×Далее, когда A умножается на такую матрицу Q 1 слева, то в ней неизменяются элементы первой строки. Когда матрица Q 1 A умножаетсяна Q ⊤ 1 = Q 1 справа, то в ней не изменяются элементы первого столбца.