С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.1. Задачи вычислительной линейной алгебры 199Но «всё течёт, всё меняется». По мере развития науки и технологийв фокусе развития вычислительной линейной алгебры оказались новыезадачи. Вот как формулирует список важнейших задач в 2001 годуамериканский специалист Дж. Деммель в книге [13]:• решение систем линейных алгебраических уравнений;• линейная задача о наименьших квадратах:найти вектор x, минимизирующий 〈Ax−b,Ax−b〉для заданных m×n-матрицы A и m-вектора b;• нахождение собственных значений и собственныхвекторов матриц;• нахождение сингулярных чисел и сингулярныхвекторов матриц.Постановку последней задачи мы будем обсуждать ниже в §3.2г.Вторая задача из этого списка — линейная задача о наименьших квадратах— является одним из вариантов дискретной задачи о наилучшемсреднеквадратичном приближении. Она возникает обычно в связи с решениемпереопределённых систем линейных алгебраических уравнений(СЛАУ), которые, к примеру, получаются при обработке экспериментальныхданных.Помимо перечисленных задач к сфере вычислительной линейнойалгебры относится также решение разнообразных линейных уравнений,в которых неизвестными являются матрицы (матричные уравненияСильвестера, Ляпунова и др.). Эти уравнения возникают, к примеру,в теории автоматического управления.С точки зрения классических разделов математики решение выписанныхзадач даётся вполне конструктивными способами и как будтоне встречает затруднений:– решение квадратной СЛАУ получается покомпонентно по формулеКрамера, как частное двух определителей, которые, в своюочередь, могут быть вычислены по явной формуле;– для вычисления собственных значений матрицы A нужно выписатьеё характеристическое (вековое) уравнение det(A−λI) = 0и найти его корни λ.И так далее. Но практическая реализация этих теоретических рецептовнаталкивается на почти непреодолимые трудности.