С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

144 2. Численные методы анализаВ многомерном случае аналогичные приближённые равенства∫ n∑f(x)dx ≈ c k f(x k ),Dk=0где x,x k ∈ D ⊂ R m , D — область в R m ,m ≥ 2,называют кубатурными формулами. Естественное условие принадлежностиузловx k области интегрирования вызвано тем, что за её пределамиподинтегральная функция может быть просто не определена, как,например, arcsinx вне интервала [−1,1].Тот факт, что квадратурные и кубатурные формулы являются линейнымивыражениями от значений интегрируемой функции в узлах,объясняется линейным характером зависимости самого интеграла отподинтегральной функции. С другой стороны, квадратурные формулыможно рассматриваеть как обобщения интегральных сумм Римана(через которые интеграл Римана и определяется), так как простейшиесоставные квадратурные формулы прямоугольников просто совпадаютс этими интегральными суммами.Как и ранее, совокупность узлов x 0 , x 1 , . . . , x n квадратурной (кубатурной)формулы называют сеткой. РазностьR(f) =∫ baf(x)dx−n∑c k f(x k )называется погрешностью квадратурной формулы или её остаточнымчленом. Это число, зависящее от подинтегральной функции f, в отличиеот остаточного члена интерполяции, который является ещё функциейточки.Если для некоторой функции f или же для целого класса функцийF ∋ f имеет место точное равенство∫ baf(x)dx =k=0n∑c k f(x k ),то будем говорить, что квадратурная формула точна (является точной)на f или для целого класса функций F. То, насколько широкимявляется класс функций, на котором точна рассматриваемая формула,может служить косвенным признаком её точности вообще. Очень частов качестве класса «пробных функций» F, для которых исследуетсяk=0