С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.10. Приближение функций 127Матрица её коэффициентов⎛⎞〈ϕ 1 ,ϕ 1 〉 〈ϕ 1 ,ϕ 2 〉 ... 〈ϕ 1 ,ϕ m 〉〈ϕ 2 ,ϕ 1 〉 〈ϕ 2 ,ϕ 2 〉 ... 〈ϕ 2 ,ϕ n 〉Γ(ϕ 1 ,ϕ 2 ,...,ϕ m ) =⎜.⎝ . . .. ⎟ . ⎠ , (2.95)〈ϕ m ,ϕ 1 〉 〈ϕ m ,ϕ 2 〉 ... 〈ϕ m ,ϕ m 〉называется, как известно, матрицей Грама системы векторов ϕ 1 , ϕ 2 ,. . . , ϕ m . Из курса линейной алгебры и аналитической геометрии читателюдолжно быть известно, что матрица Грама — это симметричнаяматрица, неособенная тогда и только тогда, когда векторы ϕ 1 , ϕ 2 , . . . ,ϕ m линейно независимы (см., к примеру, [31]). При выполнении этогоусловия матрица Грама является ещё и положительно определённой.Таким образом, решение задачи наилучшего среднеквадратичного приближениясуществует и единственно, если ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ m образуютбазис в подпространстве G.Обратимся к практическим аспектам реализации развитого вышеметода и обсудим свойства системы уравнений (2.94). Особенно интереснаустойчивость её решения к возмущениям в данных и погрешностямвычислений на цифровых ЭВМ.Наиболее простой вид матрица Грама имеет в случае, когда базисныефункции ϕ j ортогональны друг другу, т. е. когда 〈ϕ j ,ϕ k 〉 = 0 приj ≠ k. При этом система линейных уравнений (2.94) становится диагональнойи решается тривиально. Соответствующее наилучшее приближениеимеет тогда вид суммыg =m∑j=1c j ϕ j , где c j = 〈f,ϕ j〉, j = 1,2,...,m, (2.96)〈ϕ j ,ϕ j 〉и, как известно, называется (конечным) рядом Фурье для f по ортогональнойсистеме векторов {ϕ j } m j=1 . Коэффициенты c j из (2.96) называютпри этом коэффициентами Фурье разложения функции f.Кроме того, в случае ортогонального и близкого к ортогональномубазиса {ϕ j } m j=1 решение системы (2.94) устойчиво к возмущениямв правой части и неизбежным погрешностям вычислений. Но в общемслучае базис линейного подпространства G может сильно отличатьсяот ортогонального, и тогда свойства системы уравнений (2.94) могутбыть плохими в том смысле, что её решение будет чрезвычайно чувствительнымк возмущениям и погрешностям.