Attention! Your ePaper is waiting for publication!
By publishing your document, the content will be optimally indexed by Google via AI and sorted into the right category for over 500 million ePaper readers on YUMPU.
This will ensure high visibility and many readers!
416 3. Численные методы линейной алгебрыственных матриц алгоритмы будут реализовываться в более простойвещественной арифметике.<strong>С</strong> помощью сдвигов матрицы можно любое её собственное значение,которое является крайней точкой выпуклой оболочки спектра, сделатьнаибольшим по модулю, обеспечив, таким образом, сходимость к немуитераций степенного метода. Но как добиться сходимости к другим собственнымзначениям, которые лежат «внутри» спектра, а не «с краю»?Здесь на помощь приходят обратные степенные итерации.Обратные степенные итерации сходятся к ближайшей к нулю точкеспектра матрицы, и такой точкой с помощью подходящего сдвигаможет быть сделано любое собственное число. В этом — важное преимуществосдвигов для обратных степенных итераций.Другое важное следствие сдвигов — изменение отношения |λ 2 /λ 1 |,величина которого влияет на скорость сходимости степенного метода.Обычно с помощью подходящего выбора величины сдвига ϑ можнодобиться того, чтобы∣ λ 2 +ϑ∣λ 1 +ϑбыло меньшим, чем |λ 2 /λ 1 |, ускорив тем самым степенные итерации.<strong>С</strong>овершенно аналогичный эффект оказывает удачный выбор сдвига наотношение |λ n /λ n−1 |, которое определяет скорость сходимости обратныхстепенных итераций.3.17д Метод Якоби для решения симметричнойпроблемы собственных значенийВ этом параграфе мы рассмотрим численный метод для решениясимметричной проблемы собственных значений, т. е. для вычислениясобственных чисел и собственных векторов симметричных матриц. Онбыл впервые применён К.Г. Якоби в 1846 году к конкретной 7 × 7-матрице, а затем был забыт на целое столетие и вновь переоткрытлишь после Второй мировой войны, когда началось бурное развитиевычислительной математики.Идея метода Якоби состоит в том, чтобы подходящими преобразованиямиподобия от шага к шагу уменьшать норму внедиагональнойчасти матрицы. <strong>П</strong>олучающиеся при этом матрицы имеет тот же спектр,что и исходная матрица, но будут стремиться к диагональной матрицес собственными значениями на главной диагонали. Инструментом реализацииэтого плана выступают элементарные ортогональные матрицы
3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 415<strong>С</strong>тепенные итерации для «сдвинутой» матрицы( 1+2i 2)−3 4+2i(3.147)довольно быстро сходятся к наибольшему по модулю собственному значению5 2 + (2 + 1 2√15)i ≈ 2.5 + 3.9364917i. Детальная картина сходимостипри вычислениях с двойной точностью и начальным векторомx (0) = (1,1) ⊤ показана в следующей табличке:Номер <strong>П</strong>риближениеитерации к собственному значению1 2.0 + 2.0 i3 2.0413223 + 4.3140496 i5 2.7022202 + 3.9372711 i10 2.5004558 + 3.945456 i20 2.4999928 + 3.9364755 iВ данном случае для матрицы (3.147) имеем |λ 2 /λ 1 | ≈ 0.536.Im0ReРис. 3.24. <strong>С</strong> помощью подходящих сдвигов любую крайнююточку спектра можно сделать наибольшей по модулю.<strong>П</strong>оскольку спектр симметричной (эрмитовой) матрицы лежит навещественной оси, то к таким матрицам имеет смысл применять вещественныесдвиги. В частности, при этом для симметричных веще-
416 3. Численные методы линейной алгебрыственных матриц алгоритмы будут реализовываться в более простойвещественной арифметике.<strong>С</strong> помощью сдвигов матрицы можно любое её собственное значение,которое является крайней точкой выпуклой оболочки спектра, сделатьнаибольшим по модулю, обеспечив, таким образом, сходимость к немуитераций степенного метода. Но как добиться сходимости к другим собственнымзначениям, которые лежат «внутри» спектра, а не «с краю»?Здесь на помощь приходят обратные степенные итерации.Обратные степенные итерации сходятся к ближайшей к нулю точкеспектра матрицы, и такой точкой с помощью подходящего сдвигаможет быть сделано любое собственное число. В этом — важное преимуществосдвигов для обратных степенных итераций.Другое важное следствие сдвигов — изменение отношения |λ 2 /λ 1 |,величина которого влияет на скорость сходимости степенного метода.Обычно с помощью подходящего выбора величины сдвига ϑ можнодобиться того, чтобы∣ λ 2 +ϑ∣λ 1 +ϑбыло меньшим, чем |λ 2 /λ 1 |, ускорив тем самым степенные итерации.<strong>С</strong>овершенно аналогичный эффект оказывает удачный выбор сдвига наотношение |λ n /λ n−1 |, которое определяет скорость сходимости обратныхстепенных итераций.3.17д Метод Якоби для решения симметричнойпроблемы собственных значенийВ этом параграфе мы рассмотрим численный метод для решениясимметричной проблемы собственных значений, т. е. для вычислениясобственных чисел и собственных векторов симметричных матриц. Онбыл впервые применён К.Г. Якоби в 1846 году к конкретной 7 × 7-матрице, а затем был забыт на целое столетие и вновь переоткрытлишь после Второй мировой войны, когда началось бурное развитиевычислительной математики.Идея метода Якоби состоит в том, чтобы подходящими преобразованиямиподобия от шага к шагу уменьшать норму внедиагональнойчасти матрицы. <strong>П</strong>олучающиеся при этом матрицы имеет тот же спектр,что и исходная матрица, но будут стремиться к диагональной матрицес собственными значениями на главной диагонали. Инструментом реализацииэтого плана выступают элементарные ортогональные матрицы
Change language