С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.2. Интерполирование функций 63ных узлов принимает видP n (x) =f(x 0 )+ ∆f(x 0)1!h (x−x 0)+ ∆2 f(x 0 )2!h 2 (x−x 0 )(x−x 1 )+...+ ∆n f(x 0 )n!h n (x−x 0 )(x−x 1 )···(x−x n−1 ),особенно сильно похожий на полином Тейлора, тем более, что классическоеобозначение для производных f (n) = dn fdx. nВычисление конечных разностей таблично заданной функции удобнооформлять также в виде таблицы (см. Табл. 2.1), где в дополнительныхстолбцах, заполняемых последовательно один за другим (слеванаправо), выписываются значения конечных разностей.2.2д Погрешность алгебраическойинтерполяции с простыми узламиЗадача интерполяции, успешно решённая в предшествующих параграфах,часто находится в более широком контексте, описанном вовведении к этой теме, на стр. 41. Именно, значения y 0 , y 1 , . . . , y n принимаютсяв узлах x 0 , x 1 , . . . , x n некоторой реальной функцией непрерывногоаргумента f(x), свойства которой (хотя бы отчасти) известны.Насколько сильно будет отличаться от неё построенный нами интерполянт?Именно это отличие понимается под «погрешностью интерполяции».Определение 2.2.2 Остаточным членом или остатком интерполяцииназывается функция R(f,x) = f(x)−g(x), являющаяся разностью рассматриваемойфункции f(x) и интерполирующей её функции g(x).Предложение 2.2.3 Если точка z не совпадает ни с одним из узловинтерполирования x 0 , x 1 , ..., x n , то в задаче алгебраической интерполяцииостаточный член R n (f,z) := f(x)−P n (x) равенR n (f,z) = f ∠ (x 0 ,x 1 ,...,x n ,z)·ω n (z), (2.23)где функция ω n определяется посредством (2.12), т.е.n∏ω n (x) = (x−x i ).i=0