С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 329— диагональной n×n-матрице с числами 1, ǫ, ǫ 2 , . . . , ǫ n−1 по главнойдиагонали. Тогда нетрудно проверить, что(SD ǫ ) −1 A(SD ǫ ) = D −1ǫ (S −1 AS)D ǫ= D −1ǫ JD ǫ =⎛⎜⎝λ 1⎞ǫ. λ .. 1 . .. ǫλ 1 λ 2 ǫ,. .. . ..λ 2 . .. ⎟⎠. ..— матрица в «модифицированной» жордановой форме, которая отличаетсяот обычной жордановой формы присутствиемǫвместо1 на верхнейпобочной диагонали каждой жордановой клетки.Действительно, умножение на диагональную матрицу слева — этоумножение строк матрицы на соответствующие диагональные элементы,а умножение на диагональную матрицу справа равносильно умножениюстолбцов на элементы диагонали. Два таких умножения — наDǫ −1 = diag{1,ǫ −1 ,ǫ −2 ,...,ǫ 1−n } слева и на D ǫ = diag{1,ǫ,ǫ 2 ,...,ǫ n−1 }справа — компенсируют друг друга на главной диагонали матрицы J.Но на верхней побочной диагонали, где ненулевые элементы имеют индексы(i,i − 1), от этих умножений остаётся множитель ǫ −i ǫ i+1 = ǫ,i = 0,1,...,n−1.Определим теперь векторную норму‖x‖ ǫ := ∥ ∥ (SDǫ ) −1 x ∥ ∥∞.