С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.7. Методы на основе ортогональных преобразований 305и для окончательного определения u остаётся лишь применить нормировку:u = ũ‖ũ‖ 2.Тогда H = I −2uu ⊤ — искомая матрица отражения.Обсудим теперь случай, когда x коллинеарен e. При этом предшествующаяконструкция частично теряет смысл, так как вектор ũ =x−γe может занулиться при подходящем выборе множителя γ.Но даже еслиx−γe = 0 для какого-то одного из значенийγ = −‖x‖ 2и γ = ‖x‖ 2 , то для противоположного по знаку значения γ навернякаx − γe ≠ 0. Более формально можно сказать, что конкретный знак умножителяγ = ±‖x‖ 2 следует выбирать из условия максимизации нормывектора (x−γe). Далее все рассуждения, следующие за формулой(3.79), остаются в силе и приводят к определению вектора Хаусхолдера.Наконец, в случае коллинеарных векторов x и e мы можем простоуказать явную формулу для вектора Хаусхолдера:При этомu = x‖x‖ 2.u ⊤ x = x⊤ x‖x‖ 2= ‖x‖ 2 ≠ 0,и для соответствующей матрицы отражения имеет местоHx = x−2 ( uu ⊤) x = x−2u ( u ⊤ x ) = x−2x‖x‖ 2‖x‖ 2 = −x.Итак, вектор x снова переводится матрицей H в вектор, коллинеарныйвектору e, т. е. условие предложения удовлетворено и в этом случае. 15В доказательстве предложения присутствовала неоднозначность ввыборе знака в выражении ũ = x ± ‖x‖ 2 e, если x и e неколлинеарны.В действительности, годится любой знак, и его конкретный выборможет определяться, как мы увидим, требованием устойчивости вычислительногоалгоритма.15 Интересно, что этот тонкий случай доказательства имеет, скорее, теоретическоезначение, так как на практике если вектор уже имеет нужное направление, то с ним,как правило, можно вообще ничего не делать.