С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.5. Классические методы решения систем уравнений 467к равносильному рекуррентному виду, например,x = x−ΛF(x),где Λ — неособенная матрица, и далее, после выбора некоторого начальногоприближения x (0) , запускается итерационный процессx (k+1) ← Φ(x (k) ), k = 0,1,2,...,где Φ(x) = x − ΛF(x). При благоприятных обстоятельствах последовательность{x (k) } сходится, и её пределом является искомое решениесистемы уравнений. Для обеспечения сходимости итераций к решениюстараются удовлетворить теореме Банаха о неподвижной точке или жееё аналогу — теореме Шрёдера.4.5б Метод Ньютона и его модификацииПусть для системы уравнений⎧F 1 (x 1 ,x 2 ,...,x n ) = 0,⎪⎨ F 2 (x 1 ,x 2 ,...,x n ) = 0,⎪⎩.. .. .F n (x 1 ,x 2 ,...,x n ) = 0,или, кратко, F(x) = 0, известно некоторое приближение ˜x к решениюx ∗ . Если F — плавно меняющаяся (гладкая функция), то естественноприблизить её в окрестности точки ˜x линейной функцией, т. е.F(x) ≈ F(˜x)+F ′ (˜x)(x− ˜x),гдеF ′ (˜x) — матрица Якоби отображенияF в точке ˜x. Далее для вычисленияследующего приближения к решению системы уравнений естественновзять решение системы линейных алгебраических уравненийF(˜x)+F ′ (˜x)(x− ˜x) = 0,которая получается из приближенияF. Следовательно, очередным приближениемк решению может бытьx = ˜x− ( F ′ (˜x) ) −1F(˜x).