С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.7. Нелинейные методы интерполяции 972.7 Нелинейные методы интерполяцииРассмотренные нами выше методы интерполяции (в частности, алгебраической),были линейными в том смысле, что результат решениязадачи интерполяции при фиксированных узлах линейно зависел отданных. При этом класс интерполирующих функций G образует линейноевекторное пространство над полем R: любая линейная комбинацияфункций также является функцией заданного вида, решающейзадачу интерполяции для линейной комбинации данных. Но существуюти другие, нелинейные, методы интерполирования, для которых невыполнено сформулированное выше свойство. Эти методы также широкоприменяются при практической интерполяции, так как обладаютмногими важными достоинствами.Нелинейными называют методы интерполяции, в которых классинтерполирующих функций G не является линейным векторным пространством.Важнейший частный случай нелинейных методов интерполяции— это интерполяция с помощью рациональных функций видаy = y(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +... . (2.58)Итак, пусть в узлах x 0 , x 1 , . . . , x n заданы значения функции y 0 , y 1 ,. . . , y n . Нам нужно найти рациональную дробь вида (2.58), такую чтоy i = y(x i ), i = 0,1,...,n.Поскольку дробь не меняется от умножения числителя и знаменателяна одно и то же ненулевое число, то для какого-нибудь одного изкоэффицентовa i или b i может быть выбрано произвольное наперёд заданноезначение. Кроме того, параметры a i и b i должны удовлетворятьn+1 условиям интерполяции в узлах, так что всего этих параметровмы можем извлечь из условия задачи (n+2) штук. Этим ограничениемопределяется общее число неизвестных параметров, т е. сумма степенеймногочленов числителя и знаменателя в дроби (2.58).Представление (2.58) равносильно тождествуa 0 −b 0 y +a 1 x−b 1 xy +a 2 x 2 −b 2 x 2 y +... = 0. (2.59)Коль скоро при x = x i должно быть y = y i , i = 0,1,...,n, то получаемещё (n+1) числовых равенствa 0 −b 0 y i +a 1 x i −b 1 x i y i +a 2 x 2 i −b 2x 2 i y i +... = 0, (2.60)