С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

322 3. Численные методы линейной алгебрыгде при переходе ко второй строке мы воспользовались известным неравенствомдля модуля суммы двух чисел:|x+y| ≥ ∣ ∣ |x|−|y|∣ ∣. (3.90)Итак, неравенства |ξ i | < 1 доказаны для всех прогоночных коэффициентовξ i , i = 1,2,...,n+1.Как следствие, для знаменателей прогоночных коэффициентов ξ i иη i в формулах (3.87)–(3.88) имеем∣∣a i ξ i +b i∣ ∣ ≥ ∣ ∣|b i |−|a i ξ i | ∣ ∣ по неравенству (3.90)= |b i |−|a i ||ξ i | в силу диагонального преобладания> |a i |+|c i |−|a i |·|ξ i | из-за диагонального преобладания= |a i |(1−|ξ i |)+|c i |≥ |c i | ≥ 0 в силу оценки |ξ i | < 1,то есть строгое отделение от нуля. Это и требовалось доказать.Отметим, что существуют и другие условия реализуемости методапрогонки. Например, некоторые из них требуют от матрицы «болеемягкое» нестрогое диагональное преобладание (3.14), но зато болеежёсткие, чем в Предложении 3.8.1, условия на коэффициенты системы.Весьма популярна, в частности, такая формулировка [17]:Предложение 3.8.2 Если в трёхдиагональной системе линейных алгебраическихуравнений (3.84) побочные диагонали не содержат нулей,т.е. a i ≠ 0, i = 2,3,...,n, и c i ≠ 0, i = 1,2,...,n − 1, имеет местонестрогое диагональное преобладание|b i | ≥ |a i |+|c i |, i = 1,2,...,n,но хотя бы для одного индекса i это неравенство является строгим,то метод прогонки реализуем.Нетрудно убедиться, что реализация прогонки требует линейного взависимости от размера системы количества арифметических операций(примерно 8n), т. е. весьма экономична.На сегодняшний день разработано немало различных модификацийметода прогонки, которые хорошо приспособлены для решения тех или