С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

250 3. Численные методы линейной алгебрыи потому вещественная матрица A независимо действует на вещественнуюи мнимую части векторов из построенного комплексного пространстваR n ⊕iR n .Без какого-либо ограничения общности можно считать, что рассматриваемаянами норма матрицы, т. е. ‖A‖, является подчинённой(операторной) нормой, так как такие нормы являются наименьшимииз всех согласованных матричных норм (см. §3.3г). Если предложениебудет обосновано для подчинённых матричных норм, то оно тем болеебудет верным для всех прочих норм матриц.Пусть ‖·‖ — векторная норма в R n , которой подчинена наша матричнаянорма. Зададим в R n ⊕ iR n норму векторов как ‖(x,y) ⊤ ‖ =‖x‖ + ‖y‖. Тогда ввиду (3.29) и с помощью рассуждений, аналогичныхдоказательству Предложения 3.3.6, нетрудно показать, что подчинённаяматричная норма для A во множестве 2n × 2n-матриц есть‖A‖ = max{‖A‖,‖A‖} = ‖A‖. Кроме того, теперь для A справедливырассуждения о связи нормы и спектрального радиуса, проведённые вначале доказательства для случае комплексной матрицы, т. е.Это и требовалось доказать.ρ(A) = ρ(A) ≤ ‖A‖ = ‖A‖.Для симметричных и эрмитовых матриц спектральный радиус естьнорма, которая совпадает со спектральной матричной нормой‖·‖ 2 . Этоследует из Предложения 3.3.6 и того факта, что для симметричных иэрмитовых матриц сингулярные числа равны абсолютным значениямсобственных чисел. Но для матриц общего вида спектральный радиусматричной нормой не является. Хотя для любого скаляра α справедливоρ(αA) = |α| ρ(A),т. е. спектральный радиус обладает абсолютной однородностью, аксиоманеотрицательности матричной нормы (МН1) и неравенство треугольника(МН3) для него не выполняются.Во-первых, для ненулевой матрицы⎛ ⎞0 10 1 0. .. . ..(3.30)⎜ ⎟⎝ 0 1⎠0 0