С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

464 4. Решение нелинейных уравнений и их системкоторая следует из теоремы Лагранжа о среднем (формулы конечныхприращений):f(˜x)−f(x ∗ ) = f ′ (ξ)(˜x−x ∗ ),где ξ — некоторая точка, заключённая между ˜x и x ∗ , т. е. ξ ∈ □{˜x,x ∗ }.Ясно, что тогда|f(˜x)−f(x ∗ )| ≥ minξ|f ′ (ξ)|·|˜x−x ∗ |,и при min ξ∈[a,b] |f ′ (ξ)| ̸= 0 получаем оценку (4.15). Отметим её очевиднуюаналогию с оценкой (3.130) для погрешности решения системлинейных уравнений.4.4д Методы ЧебышёваМетоды Чебышёва для решения уравнения f(x) = 0 основаны наразложении по формуле Тейлора функции f −1 , обратной к f. Они могутиметь произвольно высокий порядок точности, определяемый количествомчленов разложения для f −1 , но практически обычно ограничиваютсянебольшими порядками.Предположим, что вещественная функция f является гладкой и монотоннойна интервале [a,b], так что она взаимно однозначно отображаетэтот интервал в некоторый интервал [α,β]. Как ледствие, существуетобратная к f функция g = f −1 : [α,β] → [a,b], которая имеет туже гладкость, что и функция f.Итак, пусть известно некоторое приближение ˜x к решению x ∗ уравненияf(x) = 0. Обозначив y = f(˜x), разложим обратную функцию g вточке ˜x по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:g(0) = g(y)+g ′ (y)(0−y)+g ′′ (y) (0−y)22+g (p+1) (ξ) (0−y)p+1(p+1)!+...+g (p) (y) (0−y)pp!= g(y)+p∑(−1) k g (k) (y) ykk!k=1+ (−1) p+1 g (p+1) (ξ)y p+1(p+1)! ,где ξ — какая-то точка между 0 и y. Возвращаясь к переменной x,