С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.5. Общие факты алгебраической интерполяции 85несколько) интерполяционных процессов, обеспечивающих равномернуюсходимость для любой функции.Чересчур большая общность понятия непрерывной функции былаосознана математиками почти сразу после своего появления, в первойполовине XIX века. Она стимулировала работы по формулировкедополнительных естественных условий, которые выделяли бы классыфункций, непрерывных в более сильных смыслах, которые позволялибы свободно выполнять те или иные традиционные операции(например, взятие производной почти всюду в области определенияи т. п.). Именно эти причины вызвали появление условий Липшица,Дини-Липшица, обобщённого условия Липшица и ряда других им аналогичных.Следует отметить, что для общих непрерывных функций имеет место«оптимистичный» результат, имеющий, правда, небольшую практическуюценность:Теорема Марцинкевича [7, 8, 56] Для любой непрерывной на заданноминтервале функции f найдётся такая бесконечная треугольнаяматрица узлов из этого интервала, что соответствующий ей алгебраическийинтерполяционный процесс для функции f сходится равномерно.Интересно отметить, что ситуация со сходимостью интерполяционныхпроцессов в среднеквадратичном смысле более благоприятна. Согласнорезультату, который получили П. Эрдёш и П. Туран (см. [25]),для любой положительной весовой функции существует треугольнаяматрица узлов из интервала интерполирования, по которой интерполяционныйпроцесс будет сходится. Иными словами, равномерная сходимостьпредъявляет к функции требования, более сильные чем среднеквадратичнаясходимость.Ещё один вывод из представленных выше примеров и результатовзаключается в том, что алгебраические полиномы, несмотря на определённыеудобства работы с ними, оказываются довольно капризныминструментом интерполирования достаточно общих непрерывных и дажегладких функций. Как следствие, нам нужно иметь более гибкиеинструменты интерполяции. Их развитию и будут посвящены следующиепараграфы.