С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

370 3. Численные методы линейной алгебрытак что от равенств (3.118) останется лишьx i 〈As (i) ,s (i) 〉 = 〈b,s (i) 〉,i = 1,2,...,n.Окончательноx i = 〈b,s(i) 〉〈As (i) ,s (i) 〉 ,i = 1,2,...,n,откуда из (3.117) нетрудно восстановить искомое решение СЛАУ. Нодля практического применения этого элегантного результата нужноуметь эффективно строить A-ортогональный базис s (1) , s (2) , . . . , s (n)пространства R n .Он определяются процессом A-ортогонализации невязок r (0) , r (1) ,. . . , r (n−1) последовательных приближений к решению x (0) , x (1) , . . . ,x (n−1) . Этот процесс ортогонализации конечен и завершается при некоторомk ≤ n, для которого r (k) = 0, т. е. когда очередная невязка приближённогорешения зануляется.Но на практике из-за неизбежных погрешностей вычислений методсопряжённых градиентов может не прийти к решению системы за nшагов. Тогда целесообразно повторить цикл уточнения, превратив алгоритмпри необходимости в итерационный Именно такой псевдокодметода сопряжённых градиентов приведён в Табл. 3.9. В теле циклапервая команда вычисляет длину очередного шага метода, а втораястрока даёт следующее приближение к решению. Далее вычисляетсяневязка вновь найденного приближённого решения, а в следующихдвух строках тела цикла (перед увеличением счётчика k) вычисляетсяновое направление движения к решению.Широко распространена также другая трактовка метода сопряжённыхградиентов, представляющая его как модификацию метода наискорейшегоградиентного спуска. Как мы видели в предшествующемпараграфе, направления градиентов энергетического функционала, покоторым осуществляется движение (спуск) к решению в методе наискорейшегоспуска, могут сильно изменяться от шага к шагу. По этой причинетраектория метода наискорейшего спуска имеет зигзагообразныйвид, и для получения решения затрачивается много лишней работы.Естественно попытаться каким-нибудь образом сгладить «вихляния»метода наискорейшего спуска, чтобы он шёл к решению более прямымпутём. Один из возможных способов сделать это состоит в том, чтобына каждой итерации корректировать наравление спуска по антигради-