С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.4. Интерполяция с кратными узлами 79Предположим теперь, что точка x из интервала интерполирования[a,b] не совпадает ни с одним из узлов x i , i = 0,1,...,n. Введём вспомогательнуюфункциюψ(z) := f(z)−H m (z)−KΩ(z),где K — числовая константа, равнаяK = f(x)−H m(x).Ω(x)Функция ψ(z) имеет нули в узлах x 0 , x 1 , . . . , x n и, кроме того, по построениюобращается в нуль в точке x, так что общее число нулей этойфункции равно n+2. На основании теоремы Ролля можно заключить,что производная ψ ′ (z) обращается в нуль по крайней мере в n+1 точках,расположенных в интервалах между x, x 1 , . . . , x n . Но в узлах x 0 ,x 1 , . . . , x n функция ψ(z) имеет нули с кратностями N 0 , N 1 , . . . , N n соответственно,и потому в них производная ψ ′ (z) имеет нули кратностиN 0 −1, N 1 −1, . . . , N n −1 (нулевая кратность означает отсутствие нуляв узле). Таким образом, всего эта производная ψ ′ (z) имеет с учётомкратности (N 0 +N 1 +...+N n −n−1)+(n+1) = m+1 нулей на [a,b].Продолжая аналогичные рассуждения, получим, что вторая производнаяψ ′′ (z) будет иметь с учётом кратности по крайней мере m нулейна интервале [a,b] и т. д. При каждом последующем дифференцированиинули у производных функции ψ(z) могут возникать или исчезать,но их суммарная кратность уменьшается всякий раз на единицу. Наконец,(m+1)-ая производная зануляется на [a,b] хотя бы один раз.Итак, на интервале[a,b] обязательно найдётся по крайней мере однаточка ξ, такая что ψ (m+1) (ξ) = 0. Ноψ (m+1) (z) = f (m+1) (z)−K(m+1)!,поскольку H m (x) — полином степени m и H m(m+1) (z) зануляется, а Ω(z)есть многочлен степени m+1 со старшим коэффициентом 1. Итак,K = f(m+1) (ξ)(m+1)!для некоторой точки ξ, зависящей от x. Этим завершается доказательствотеоремы.