С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.2. Теоретическое введение 211Отсюда мы можем заключить, что комплексное число z является корнемхарактеристического уравнения det(A−λI) = 0 матрицы A тогдаи только тогда, когда ему сопряжённое z является корнем уравненияdet(A ∗ −λI) = 0, который является характеристическим для матрицыA ∗ . Это доказывает первое утверждение.Пусть x и y — собственные векторы матриц A и A ∗ соответственно,а λ и κ — отвечающие им собственные числа этих матриц. Для доказательствавторого утверждения выпишем следующую цепочку преобразований:〈x,y〉 = 1 λ 〈λx,y〉 = 1 λ 〈Ax,y〉 = 1 λ 〈x,A∗ y〉 = 1 λ 〈x,κy〉 = κ λ 〈x,y〉.Поэтомуто есть〈x,y〉− κ 〈x,y〉 = 0,λ(〈x,y〉 1− κ )= 0.λЕсли x и y являются собственными векторами матриц A и A ∗ , отвечающимисобственным значениям λ и κ, которые не сопряжены комплекснодруг другу, то в левой части полученного равенства второйсомножитель (1−κ/λ) ≠ 0. По этой причине необходимо〈x,y〉 = 0, чтои требовалось доказать.Обращаясь к определению правых и левых собственных векторовматрицы, можем утверждать, что если λ — правое собственное значениематрицы A, а µ — левое собственное значение, то λ = µ. Инымисловами, правые и левые собственные значения матрицы совпадаютдруг с другом, и потому их можно не различать. Что касается правыхи левых собственных векторов матрицы, то они биортогональны другдругу.Предложение 3.2.3 Если λ — собственное число квадратной неособеннойматрицы, то λ −1 — это собственное число обратной матрицы,отвечающее тому же собственному вектору.Доказательство. Если C — неособенная n×n-матрица и Cv = λv, тоv = λC −1 v. Далее, так как λ ≠ 0 в силу неособенности C, получаемотсюда C −1 v = λ −1 v.