С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

202 3. Численные методы линейной алгебрыНенулевые векторы a и b называются коллинеарными, если a = αbдля некоторого скаляра α. Иногда различают сонаправленные коллинеарныевекторы, отвечающие случаю α > 0, и противоположно направленные,для которых α < 0. Нулевой вектор по определению коллинеаренлюбому вектору.Вообще, в линейной алгебре, при работе с линейными векторнымипространствами, большую роль играют линейные выражения видаα 1 v 1 +α 2 v 2 +...+α k v k ,где α 1 , α 2 , . . . , α k — некоторые скаляры, а v 1 , v 2 , . . . , v k — векторыиз рассматриваемого пространства. Такие выражения называются линейнымикомбинациями векторов v 1 , v 2 , . . . , v k . Говорят также, чтолинейная комбинация нетривиальная, если хотя бы один из коэффициентовα 1 , α 2 , . . . , α k не равен нулю.Линейной оболочкой векторов v 1 , v 2 , . . . , v k называют множествовсевозможных линейных комбинаций этих векторов, т. е. наименьшеелинейное подпространство, содержащее эти векторы v 1 , . . . , v k . Мыбудем обозначать линейную оболочку посредством lin{v 1 ,...,v n }, такчто{∑ n ∣ }∣∣∣lin{v 1 ,...,v n } = α i v i α i ∈ R .На линейных пространствах R n и C n можно задать скалярные произведения.Напомним, что в вещественном случае это положительноопределённая симметричная и билинейная форма, а в комплексном —положительно определённая эрмитова форма. Обычно они задаются вследующем стандартном видеили〈a,b〉 =〈a,b〉 =i=1n∑a i b i для a,b ∈ R n (3.1)i=1n∑a i b i для a,b ∈ C n . (3.2)i=1Наличие скалярного произведения позволяет измерять углы междувекторами и ввести очень важное понятие ортогональности векторов.При этом пространства R n и C n становятся евклидовыми пространствами,и для них справедливы многие красивые и важные свойства,существенно упрощающие математические рассуждения.