С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

174 2. Численные методы анализа2.13г Практическое применение формул ГауссаОтдельное нахождение узлов и весов формул Гаусса для каждогоконкретного интервала интегрирования [a,b] является весьма трудозатратным,и если бы нам нужно было проделывать эту процедуру всякийраз при смене интервала[a,b], то практическое применение формулГаусса значительно потеряло бы свою привлекательность. Естественнаяидея состоит в том, чтобы найти узлы и веса формул Гаусса длякакого-то одного «канонического» интервала, а затем получать их длялюбого другого интервала с помощью несложных преобразований.В качестве канонического интервала обычно берут [−1,1], т. е. тотинтервал, для которого строятся ортогональные полиномы Лежандра.Этот интервал также удобен симметричностью относительно нуля, котораяпозволяет более просто использовать свойство симметрии узлови весовых коэффициентов квадратурной формулы. В §2.11 мы указалирецепт построения из полиномов Лежандра полиномов, ортогональныхс единичным весом, для любого интервала вещественной оси. Этой техникойи нужно воспользоваться в данном случае.Еслиx = 1 2 (a+b)+ 1 2(b−a)y, (2.135)то переменная x будет пробегать интервал [a,b], когда y изменяется в[−1,1]. Обратное преобразование даётся формулойy = 1 ( )2x−(a+b) .b−aВ частности, если y i , i = 1,2,...,n, — корни полинома Лежандра, которыесогласно Предложению 2.11.2 все различны и лежат на интервале[−1,1], то узлы квадратурной формулы Гаусса для интервала интегрирования[a,b] сутьx i = 1 2 (a+b)+ 1 2 (b−a)y i, i = 1,2,...,n. (2.136)Все они также различны и лежат на интервале интегрирования [a,b].Далее, весаc k любой интерполяционной квадратурной формулы могутбыть выражены в виде интегралов (2.122). В случае формул Гаусса(когда узлы нумеруются с единицы) они принимают видc k =∫ baφ k (x)dx,k = 1,2,...,n,