С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

130 2. Численные методы анализаЕсли мы хотим, скажем, минимизировать тепловыделение рассматриваемогоучастка электрической цепи, то нам нужно искать такой режимеё работы, при котором достигался бы минимум выписанного интеграла,т. е. среднеквадратичного значения тока. В электротехнике егоназывают действующим или эффективным значением силы тока. Линейным пространством F, элементы которого мы будем приближать,выступит пространство всех функций, квадрат (т. е. степень 2)которых интегрируем на интервале [a,b] с заданным весом ̺(x). Егоназывают пространством L 2 [a,b], и нам сначала требуется показать,что оно в самом деле является линейным.Ясно, что если f ∈ L 2 [a,b], то для любого скаляра c функция cf(x)также интегрируема с квадратом на [a,b]. Далее, с силу очевидногонеравенства2|f(x)g(x)| ≤ ( f(x) ) 2+(g(x)) 2из интегрируемости второй степени функций f(x) и g(x) с весом ̺(x)следует интегрируемость их произведения на[a,b]. Поэтому существуетинтеграл∫ ba̺(x) ( f(x)+g(x) ) 2dx =∫ ba̺(x) ( f(x) ) ∫ b2dx+2 ̺(x)f(x)g(x)dx+a∫ ba̺(x) ( g(x) ) 2dx,т. е. сумма f(x)+g(x) также имеет интегрируемый с весом ̺(x) квадрат.Это завершает доказательство линейности пространства L 2 [a,b].Скалярное произведение в нём задаётся выражением (2.99). В курсахфункционального анализа показывается, что если интегрированиепонимается в смысле Лебега, то L 2 [a,b] — гильбертово пространство,т. е. дополнительно обладает свойством полноты. По этой причине оноочень популярно в самых различных математических дисциплинах, оттеории уравнений в частных производных до статистики.Пример 2.10.3 Рассмотрим задачу о среднеквадратичном приближениифункций из L 2 [0,1] с единичным весом полиномами фиксированнойстепени m. Скалярное произведение определяется как〈f,g〉 =∫ 10f(x)g(x)dx,