С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

148 2. Численные методы анализаРис. 2.22. Иллюстрация квадратурных формулсредних прямоугольников и трапецийпоскольку∫ ba(x− a+b2) ∫ b−a2dx = tdt = 0,− b−a2— интеграл от первого члена разложения зануляется. Следовательно,с учётом принятого нами ранее обозначения∣M p := max ∣f (p) (x) ∣ можно выписать оценку|R(f)| ≤∫ baf ′′ (ξ)(∣∣ 2 ∣·x∈[a,b]x− a+b2) 2dx≤M 22∫ ba(x− a+b2) 2dx= M 22 · 1 (x− a+b ) ∣ 3∣∣∣ b3 2a= M 2(b−a) 3.24Отсюда, в частности, следует, что для полиномов степени не выше 1формула (средних) прямоугольников даёт точное значение интеграла,коль скоро вторая производная подинтегральной функции тогда зануляетсяи M 2 = 0.Полученная оценка точности неулучшаема, так как достигается нафункции g(x) = ( x− 1 2 (a+b)) 2. При этомM 2 = maxx∈[a,b] |g′′ (x)| = 2,( a+b)g = 0,2