С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

394 3. Численные методы линейной алгебрыПусть теперь j ≠ i. Тогда 〈x i ,y j 〉 = 0 в силу биортогональностисистем векторов {x i } и {y j } (Предложение 3.2.2), и потому〈A(dx i ),y j 〉 = 〈dx i ,A ∗ y j 〉 = 〈dx i ,λ j y j 〉 = λ j 〈dx i ,y j 〉.Подставляя этот результат в (3.140), будем иметьПоэтому〈(dA)x i ,y j 〉+λ j 〈dx i ,y j 〉 = λ i 〈dx i ,y j 〉.〈dx i ,y j 〉 = 〈(dA)x i,y j 〉λ i −λ j.Разложим dx i по базису из собственных векторов невозмущённойматрицы A:n∑dx i = α ij x j .j=1Так как собственные векторы задаются с точностью до множителя,то в этом разложении коэффициенты α ii содержательного смысла неимеют, и можно считать, чтоα ii = 0 (напомним, что мы, в действительности,ищем возмущение одномерного инвариантного подпространстваматрицы). Для остальных коэффициентов имеем〈dx i ,y j 〉 = α ij 〈x j ,y j 〉,опять таки в силу Предложения 3.2.2. Следовательно, для i ≠ jα ij = 〈(dA)x i,y j 〉(λ i −λ j )〈x j ,y j 〉 .Перейдём теперь к оцениванию возмущений собственных значенийи собственных векторов. Из формулы для дифференциала dλ i и изнеравенства Коши-Буняковского следуетгде посредством|dλ i | ≤ ‖dA‖ 2‖x‖ 2 ‖y‖ 2〈x i ,y i 〉= ν i ‖dA‖ 2 ,ν i = ‖x i‖ 2 ‖y i ‖ 2, i = 1,2,...,n,〈x i ,y i 〉обозначены величины, называемые коэффициентами перекоса матрицыA, отвечающие собственным значениям λ i , i = 1,2,...,n.