С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

410 3. Численные методы линейной алгебрыпри тех же исходных условиях степенной метод порождает последовательностьзначений ˜λ, которая случайно колеблется от примерно0.9 до 4 и очевидным образом не имеет предела. Причина — наличиеу матрицы двух одинаковых по абсолютной величине комплексносопряжённыхсобственных значений 2.5±1.936i (см. Пример 3.1.3). Отметим, что для симметричных (эрмитовых) положительно определённыхматриц в степенном методе в качестве приближения к доминирующемусобственному значению можно брать отношение‖x (k+1) ‖ 2‖x (k) ‖ 2,x (k+1) = Ax (k)(см. [77]).Наконец, необходимое замечание о сходимости степенного методав комплексном случае. Так как комплексные числа описываются парамивещественных чисел, то комплексные одномерные инвариантныепространства матрицы имеют вещественную размерность 2. Даже будучинормированными, векторы из такого подпространства могут отличатьсяна скалярный множитель e iϕ для какого-то аргумента ϕ, такчто если не принять специальных мер, то в степенном методе видимойстабилизации координатных представлений комплексных собственныхвекторов может не наблюдаться. Тем не менее, о факте сходимости илирасходимости можно при этом судить по стабилизации приближения ксобственному значению. Либо кроме нормировки собственных векторовследует предусмотреть ещё приведение их к такой форме, в которойкоординатные представления будут определяться более «жёстко», например,требованием, чтобы первая компонента вектора была бы чистовещественной.Пример 3.17.2 Рассмотрим работу степенного метода в применениик матрице( ) 1 2i,3 4iимеющей собственные значенияλ 1 = −0.4308405−0.1485958i,λ 2 = 1.4308405+4.1485958i.