С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

242 3. Численные методы линейной алгебры∑max mj i=1 |a ij|. Как следствие, на этом векторе достигается наибольшеезначение отношения ‖Ax‖ 1 /‖x‖ 1 из определения подчинённой матричнойнормы.Аналогичным образом доказывается и вторая часть предложения.Приступая к обоснованию последней части предложения рассмотримn×n-матрицу A ∗ A. Она является эрмитовой, её собственные числавещественны и неотрицательны, будучи квадратами сингулярныхчисел матрицы A и, возможно, ещё нулями (см. Предложение 3.2.4).Унитарным преобразованием подобия (ортогональным в вещественномслучае) матрица A ∗ A может быть приведена к диагональному виду:A ∗ A = U ∗ ΛU, где U — унитарная n × n-матрица, Λ — диагональнаяn×n-матрица, имеющая на диагонали числа σi 2, i = 1,2,...,min{m,n},т. е. квадраты сингулярных чисел σ i матрицы A, и, возможно, ещё нулив случае m < n.Далее имеем‖A‖ 2 = maxx≠0= maxx≠0≤ maxy≠0‖Ax‖ 2‖x‖ 2= maxx≠0√(Ux)∗ Λ(Ux)√(Ux)∗ Ux(σ max (A)√ ∑i y2 i∑i y2 i√x∗ A ∗ Ax√x∗ x= maxy≠0)= maxx≠0√y∗ Λy√y∗ y= σ max (A),√x∗ U ∗ ΛU x√x∗ U ∗ Ux= maxy≠0√ ∑i σ2 i y2 i∑i y2 iгде в выкладках применена замена переменных y = Ux. Кроме того,полученная для ‖A‖ 2 оценка достижима: достаточно взять в качествевектора y столбец единичной n × n-матрицы с номером, равным местуэлемента σmax 2 (A) на диагонали в Λ, а в самом начале выкладокположить x = U ∗ y.Норму матриц ‖·‖ 2 , подчинённую евклидовой векторной норме, частоназывают также спектральной нормой матриц. Для симметричныхматриц она равна наибольшему из модулей собственных чисел и совпадаетс так называемым спектральным радиусом матрицы (см. 3.3ж).Отметим, что спектральная норма матриц не является абсолютнойнормой (см. Пример 3.1.3), т. е. она зависит не только от абсолютныхзначений элементов матрицы. В то же время, ‖ · ‖ 1 и ‖ · ‖ ∞ — этоабсолютные матричные нормы, что следует из вида их выражений.