С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.5. Общие факты алгебраической интерполяции 81Определение 2.5.2 Интерполяционный процесс для функции f называетсясходящимся в точке y ∈ [a,b], если последовательность значенийинтерполянтов g n (y) → f(y) при n → ∞. Интерполяционныйпроцесс для функции f на интервале [a,b], порождающий последовательностьинтерполянтов g n (x), называется сходящимся равномерно,если max x∈[a,b] |f(x)−g n (x)| → 0 при n → ∞.Отметим, что помимо равномерной сходимости интерполяционногопроцесса, когда отклонение одной функции от другой измеряетсяв равномерной (чебышёвской) метрике (2.1), иногда необходимо рассматриватьсходимость в других смыслах. Например, это может бытьсреднеквадратичная сходимость, задаваемая метрикой (2.3), или ещёкакая-нибудь другая.Определённую уверенность в положительном ответе на поставленныев начале параграфа вопросы даёт известная из математическогоанализаТеорема Вейерштрасса о равномерном приближении.Если f : [a,b] → R — непрерывная функция, то для всякого ǫ > 0 существуетполином Π n (x) степени n = n(ǫ), равномерно приближающийфункцию f с погрешностью, не превосходящей ǫ, т.е. такой, чтоmaxx∈[a,b]∣ f(x)−Πn (x) ∣ ∣ ≤ ǫ.Этот результат служит теоретической основой равномерного приближениянепрерывных функций алгебраическими полиномами, обеспечиваясуществование полинома, который сколь угодно близок к заданнойнепрерывной функции в смысле расстояния (2.1). Вместе с тем,теорема Вейерштрасса слишком обща и не даёт ответа на конкретныевопросы о решении задачи интерполирования, где требуется совпадениезначений функции и её интерполянта на данном множестве точекузлов.Как следует из результатов §2.2д и §2.3 огромное влияние на погрешностьинтерполяции оказывает расположение узлов. В частности,рассмотренные в §2.3 чебышёвские сетки являются наилучшими возможнымив условиях, когда неизвестна какая-либо дополнительная информацияоб интерполируемой функции.Что касается равномерных сеток, то для них один из первых примероврасходимости интерполяционных процессов привёл в 1910 году