С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

154 2. Численные методы анализаС другой стороны,(b−a( a+b) 3a 3 +4 +b3)6 2= b−a (a 3 + a3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 )+b 36 2= b−a6= b−a4· 3a3 +3a 2 b+3ab 2 +3b 32(a 3 +a 2 b+ab 2 +b 3) = b4 −a 4,4что совпадает с результатом точного интегрирования.Для монома x 4 длинными, но несложными выкладками нетруднопроверить, что результат, даваемый формулой Симпсона для интегралапо интервалу [a,b], т. е.(b−aa 4 +46( a+bотличается от точного значения интеграла∫ ba2x 4 dx = b5 −a 5) 4+b4),на величину (b − a) 5 /120. Она не зануляется при a ≠ b, так что наполиномах четвёртой степени формула Симпсона уже не точна. Итак, несмотря на то, что формула Симпсона основана на интерполяцииподинтегральной функции полиномом степени2, фактическаяточность формулы более высока, чем та, что обеспечивается полиномомвторой степени. В этой ситуации для более аккуратной оценки погрешностиформулы Симпсона на основе известной погрешности алгебраическойинтерполяции (аналогично выводу погрешности формулы трапецийв §2.12б) желательно взять более высокую степень переменнойв выражении для погрешности. Иными словами, при оценке погрешностиформулы Симпсона нужно взять для подинтегральной функцииинтерполяционный полином третьей степени. При наличии всего трёхузлов мы находимся в условиях задачи интерполяции с кратными узлами.Предполагая существование производной f ′ в среднем узле x 1 =(a+b)/2, можно считать, к примеру, что именно он является кратным5