С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 337согласно Теореме 3.9.1 и оценкам убывания погрешности (3.93), найтизначение τ, которое доставляет минимум величине‖I −τA‖ 2 = maxλ i|1−τλ i |,где максимум в правой части берётся по дискретному множеству точекλ i , i = 1,2,...,n, спектра матрицы A. В условиях, когда о расположенииλ i ничего не известно кроме их принадлежности интервалу [µ,M],естественно заменить максимизацию по множествуλ i , i = 1,2,...,n, намаксимизацию по всему объемлющему его интервалу [µ,M]. Итак, мыбудем искать оптимальное значение τ = τ опт , при котором достигается( )min max |1−τλ| .τ λ∈[µ,M]Обозначивg(τ) = maxµ≤λ≤M |1−τλ|,обратимся для минимизации функции g(τ) к геометрической иллюстрацииРис. 3.19. Пользуясь ею, мы исследуем поведение g(τ) приизменении аргумента τ.При τ ≤ 0 функция (1−τλ) не убывает по λ, и при положительныхλ, очевидно, не меньше 1 по абсолютной величине. Тогда итерационныйпроцесс (3.98) сходиться не будет. Следовательно, в нашем анализеимеет смысл ограничится теми τ, для которых (1−τλ) убывает по λ.Это значения τ > 0.При 0 < τ ≤ M −1 функция 1−τλ на интервале λ ∈ [µ,M] неотрицательнаи монотонно убывает. Поэтому g(τ) = max λ |1−τλ| = 1−τµи достигается на левом конце интервала [µ,M].При τ > M −1 велична 1−τM отрицательна, так что график функции1−τλ на интервале λ ∈ [µ,M] пересекает ось абсцисс. При этомg(τ) = max { 1−τµ,−(1−τM) } ,причём на левом конце (1−τµ) убывает с ростом τ, а на правом конце−(1−τM) растёт с ростом τ.При некотором τ = τ опт наступает момент, когда эти значения наконцах интервала [µ,M] сравниваются друг с другом:1−τµ = −(1−τM).