С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.16. Проблема собственных значений 401Если A — эрмитова n×n-матрица, то, как известно,A = UDU ∗ ,где D = diag{λ 1 ,λ 2 ,...,λ n } — диагональная матрица с вещественнымисобственными значениями матрицы A по диагонали, U — некотораяунитарная n×n-матрица (ортогональная в вещественном случае). ТогдаR(x) = 〈Ax,x〉〈x,x〉где y = U ∗ x. Поскольку= 〈UDU∗ x,x〉〈x,x〉1‖y‖ 2 2n∑|y i | 2 =i=1= 〈DU∗ x,U ∗ x〉〈U ∗ x,U ∗ x〉n∑i=1|y i | 2‖y‖ 2 2= 1,=∑ ni=1 λ i|y i | 2‖y‖ 2 ,2то для эрмитовых матриц отношение Рэлея есть выпуклая комбинация,с коэффициентами |y i | 2 /‖y‖ 2 2 , её собственных значений. В целомже из проведённых выше выкладок следует, что область значения отношенияРэлея для эрмитовой матрицы — это интервал [λ min ,λ max ] ⊂ R,коль скоро все λ i вещественны. Кроме того, для эрмитовых матриц отношениеРэлея позволяет легко находить нетривиальные границы длянаименьшего собственного значения сверху и наибольшего собственногозначения снизу.В теории на основе отношения Рэлея нетрудно вывести полезныеоценки для собственных и сингулярных чисел матриц. В частности, изсвойств отношения Рэлея следует (см. подробности в [40, 50])Теорема 3.16.3 (теорема Вейля) Пусть A и B — эрмитовы n ×nматрицы,причём λ 1 ≥ λ 2 ≥ ... ≥ λ n — собственные значения матрицыA и ˜λ 1 ≥ ˜λ 2 ≥ ... ≥ ˜λ n — собственные значения матрицыà = A+B. Тогда |˜λ i −λ i | ≤ ‖B‖ 2 .Следствие. Пусть A и B — произвольные матрицы одинакового размера,причём σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥ σ n — сингулярные числа матрицы A, а˜σ 1 ≥ ˜σ 2 ≥ ... ≥ ˜σ n — сингулярные числа матрицы à = A+B. Тогда|˜σ i −σ i | ≤ ‖B‖ 2 .Следствие из теоремы Вейля показывает, что сингулярные числанепрерывно зависят от элементов матрицы, и зависимость эта имеет