С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

24 1. ВведениеВ частности, при умножении интервала на число полезно помнить следующеепростое правило:µ·a ={[µa,µa], если µ ≥ 0,[µa,µa], если µ ≤ 0.(1.14)Алгебраическая система 〈 IR,+,−,·,/ 〉, образованная множествомвсех вещественных интервалов a := [a,a] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ a}с бинарными операциями сложения, вычитания, умножения и деления,которые определены формулами (1.10)–(1.13), называется классическойинтервальной арифметикой. Эпитет «классическая» используетсяздесь потому, что существуют и другие интервальные арифметики,приспособленные для решения других задач.Полезно выписать определение интервального умножения в видетак называемой таблицы Кэли, дающей представление результата операциив зависимости от различных комбинаций значений операндов.Для этого выделим в IR следующие подмножества:P := {a ∈ IR | a ≥ 0 и a ≥ 0} — неотрицательные интервалы,Z := {a ∈ IR | a ≤ 0 ≤ a}−P := {a ∈ IR | −a ∈ P}— нульсодержащие интервалы,— неположительные интервалы.В целом IR = P ∪ Z ∪ (−P). Тогда интервальное умножение (1.12)может быть описано с помощью Табл. 1.1, особенно удобной при реализцииэтой операции на ЭВМ.Именно по этой таблице реализовано интервальное умножение в подавляющембольшинстве компьютерных систем, поддерживающих интервальнуюарифметику, так как в сравнении с исходными формуламитакая реализация существенно более быстрая.Алгебраические свойства классической интервальной арифметикисущественно беднее, чем у поля вещественных чисел R. В частности,особенностью интервальной арифметики является отсутствие дистрибутивностиумножения относительно сложения: в общем случаеНапример,(a+b)c ≠ ac+bc.[1,2]·(1−1) = 0 ≠ [−1,1] = [1,2]·1−[1,2]·1.