С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.11. Полиномы Лежандра 141Предложение 2.11.3 Среди всех полиномов степени n, n ≥ 1, состаршим коэффициентом, равным 1, полином ˜L n (x) имеет на интервале[−1,1] наименьшее среднеквадратичное отклонение от нуля.Иными словами, если Q n (x) — полином степени n со старшим коэффициентом1, то∫ 1(Qn (x) ) ∫ 12dx ≥(˜Ln (x) ) 2dx. (2.107)−1−1Доказательство. Если Q n (x) = x n +a n−1 x n−1 +...+a 1 x+a 0 , то дляотыскания наименьшего значения выраженияJ(a 0 ,a 1 ,...,a n−1 ) ==∫ 1−1∫ 1−1(Qn (x) ) 2dx(x n +a n−1 x n−1 +...+a 1 x+a 0 ) 2 dx(2.108)продифференцируем этот интеграл по коэффициентам a 0 , a 1 , . . . , a n−1и приравняем полученные производные к нулю. Так как в данных условияхдифференцирование интеграла по параметру, от которого зависитподинтегральная функция, сводится к взятию интеграла от производной,то имеем в результате∂J∂a k=∫ 1−12 ( x n +a n−1 x n−1 +...+a 1 x+a 0)x k dx∫ 1= 2 Q n (x)x k dx = 0,−1k = 0,1,...,n − 1. Это означает, что полином Q n (x) ортогонален всмыслеL 2 [−1,1] всем полиномам меньшей степени. Следовательно, приминимальном значении интеграла (2.108) полином Q n (x) обязан совпадатьс n-ым полиномом Лежандра.Для построения полинома, который имеет наименьшее среднеквадратичноеотклонение от нуля на произвольном интервале [a,b] можновоспользоваться линейной заменой переменной и затем масштабированием,аналогично тому, как это было сделано для полиномов Чебышёвав §2.3б.