С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 327Предложение 3.9.1 Если ‖C‖ < 1 в какой-нибудь матричной норме,то стационарный одношаговый итерационный процессx (k+1) ← Cx (k) +d, k = 0,1,2,...,сходится при любом начальном приближении x (0) .Доказательство. В формулировке предложения ничего не говоритсяо пределе, к которому сходится последовательность приближений{x (k) }, порождаемых итерационным процессом. Но мы мы можем указатьего в явном виде и строить доказательство с учётом этого знания.Если ‖C‖ < 1 для какой-нибудь матричной нормы, то в силу результатао матричном ряде Неймана (Предложение 3.3.11, стр. 253)матрица (I−C) неособенна и имеет обратную. Следовательно, системауравнений(I−C)x = d, как и равносильная ей x = Cx+d, имеют единственноерешение, которое мы обозначим x ⋆ . Покажем, что в условияхпредложения это и есть предел последовательных приближений x (k) .В самом деле, еслиx ⋆ = Cx ⋆ +d,то, вычитая это равенство из соотношений x (k) = Cx (k−1) + d, k =1,2,..., получимx (k) −x ⋆ = C ( x (k−1) −x ⋆) .Вспомним, что всякая матричная норма согласована с некоторой векторнойнормой (Предложение 3.3.4), и именно эту норму мы применимк обеим частям последнего равенства:∥ x (k) −x ⋆∥ ∥ ≤ ‖C‖∥ ∥x (k−1) −x ⋆∥ ∥ .Повторное применение этой оценки погрешности для x (k−1) , x (k−2) , . . . ,и т. д. вплоть до x (1) приводит к цепочке неравенств‖x (k) −x ⋆ ‖ ≤ ‖C‖·∥∥x (k−1) −x ⋆∥ ∥≤ ‖C‖ 2 ·∥∥x (k−2) −x ⋆∥ ∥≤ ... ...≤ ‖C‖ k ·∥∥x (0) −x ⋆∥ ∥. (3.93)Правая часть неравенства (3.93) сходится к нулю при k → ∞ в силуусловия ‖C‖ < 1, поэтому последовательность приближений {x (k) } ∞ k=0действительно сходится к пределу x ⋆ .