С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

22 1. Введениетем, чтобы можно было работать с ними, подобно обычным числам,опираясь на алгебраические преобразования, аналитические операциии т.п.? Ответ на эти вопросы положителен, хотя свойства получающейся«интервальной арифметики» оказываются во многом непохожимина привычные свойства операций с обычными числами.Предположим, что нам даны переменные a и b, точные значениякоторых неизвестны, но мы знаем, что они могут находиться в интервалах[a,a]и[b,b] соответственно. Что можно сказать о значении суммыa+b?Складывая почленно неравенстваполучимa ≤ a ≤ a,b ≤ b ≤ b,a+b ≤ a+b ≤ a+b,так что a+b ∈ [ a+b,a+b ] .На аналогичный вопрос, связанный с областью значений разностиa−b можно ответить, складывая почленно неравенстваa ≤ a ≤ a,−b ≤ −b ≤ −b.Имеем в результате a−b ∈ [ a−b,a−b ] .Для умножения двух переменных a ∈ [a,a] и b ∈ [b,b] имеет местонесколько более сложная оценкаa·b ∈ [ min{ab,ab,ab,ab},max{ab,ab,ab,ab} ] .Чтобы доказать её заметим, что функция φ : R ×R → R, задаваемаяправилом φ(a,b) = a · b, будучи линейной по b при каждом фиксированномa,принимает минимальное и максимальное значения на концахинтервала изменения переменной b. Это же верно и для экстремумовпо a ∈ [a,a] при любом фиксированном значении b. Наконец,min φ(a,b) = mina∈[a,a],b∈[b,b] a∈[a,a]max φ(a,b) = maxa∈[a,a],b∈[b,b] a∈[a,a]min φ(a,b),b∈[b,b]max φ(a,b),b∈[b,b]