С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.16. Проблема собственных значений 387ханических систем (весьма важная, к примеру, при проектированииразличных конструкций) сводится к нахождению собственных значенийтак называемых матриц жёсткости этих систем. Особую важностьсобственным значениям придаёт то обстоятельство, что соответствующиеим частоты собственных колебаний являются непосредственнонаблюдаемыми из опыта физическими величинами. Это тон звучаниятронутой гитарной струны и т. п.Пример 3.16.1 Линейные динамические системы с дискретным временемвидаx (k+1) = Ax (k) +b (k) , k = 0,1,2... , (3.137)служат моделями разнообразных процессов окружающего нас мира, отбиологии до экономики.Общее решение такой системы есть сумма частного решения исходнойсистемы (3.137) и общего решения однородной системы x (k+1) =Ax (k) без свободного члена. Если искать нетривиальные решения однороднойсистемы в виде x (k) = λ k h, где λ — ненулевой скаляр и h— n-вектор, то нетрудно убедиться, что λ должно быть собственнымзначением A, а h — собственным вектором матрицы A. Ясно, что собственные векторы матрицы определяются неоднозначно,с точностью до скалярного множителя. В связи с этим часто говорято нахождении одномерных инвариантных подпространств матрицы.Инвариантные подпространства матрицы могут иметь и б´ольшуюразмерность, и в любом случае их знание доставляет важную информациюо рассматриваемом линейном операторе, позволяя упроститьего представление. Пусть, например, S — это p-мерное инвариантноеподпространство матрицы A, так что Ax ∈ S для любого x ∈ S, ибазисом S являются векторы v 1 , v 2 , . . .v p . Беря базис всего пространстваR n так, чтобы его последними векторами были v 1 , v 2 , . . .v p (это,очевидно, можно сделать всегда), получим в нём блочно-треугольноепредставление рассматриваемого линейного оператора:(A11 A 120 A 22)с p×p-блоком A 22 . В последние десятилетия задача определения дляматрицы тех или иных инвариантных подпространств, не обязательноодномерных, также включается в «проблему собственных значений».