С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

308 3. Численные методы линейной алгебрыесли среди них существуют ненулевые. Иначе, если в преобразуемойматрице все элементы a j+1,j , a j+2,j , . . . , a nj — нулевые, то полагаемH j = I — единичной n×n-матрице.Можно положить в блочной форме( ) I 0H i = ,0 ˜Hiгде в верхнем левом углу стоит единичная (j − 1) × (j − 1)-матрица,а ˜H i — матрица размера (n − j + 1) × (n − j + 1), которая переводитвекторA(j : n,j) в (n−j+1)-вектор(1,0,...,0) ⊤ , т. е. обнуляет поддиагональныеэлементы j-го столбца в A. Если хотя бы один из элементовa j+1,j , a j+2,j , . . . , a nj не равен нулю, то ˜H i — матрица отражения, способпостроения которой описывается в Предложении 3.7.2. Иначе, если(a j+1,j , a j+2,j , . . . , a nj ) ⊤ = 0, то ˜H i единичная (n−j +1)×(n−j +1)-матрица.Отметим, что из представленияH n−1 H n−2···H 2 H 1 A = Rвытекает равенство A = QR с ортогональной матрицейQ = ( H n−1 H n−2···H 2 H 1) −1.Таким образом, мы получаем QR-разложение матрицы A, т. е. Предложения3.7.2 и 3.7.3 дают в совокупности ещё одно, конструктивное,доказательство Теоремы 3.7.1. Соответствующий псевдокод алгоритмадля вычисления QR-разложения матрицы приведён в Табл. 3.1.Как следствие, исходная система уравнений Ax = b становится равносильнойсистеме уравнений{Qy = b,Rx = y,с несложно решаемыми составными частями. При практической реализацииудобнее дополнить алгоритм Табл. 3.1 инструкциями, которыезадают преобразования вектора правой части СЛАУ, и тогда результатомработы нового алгоритма будет правая треугольная СЛАУ Rx = y.Её можно решать с помощью обратной подстановки (3.54).