С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

More documents

Recommendations

Info

3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 415Степенные итерации для «сдвинутой» матрицы( 1+2i 2)−3 4+2i(3.147)довольно быстро сходятся к наибольшему по модулю собственному значению5 2 + (2 + 1 2√15)i ≈ 2.5 + 3.9364917i. Детальная картина сходимостипри вычислениях с двойной точностью и начальным векторомx (0) = (1,1) ⊤ показана в следующей табличке:Номер Приближениеитерации к собственному значению1 2.0 + 2.0 i3 2.0413223 + 4.3140496 i5 2.7022202 + 3.9372711 i10 2.5004558 + 3.945456 i20 2.4999928 + 3.9364755 iВ данном случае для матрицы (3.147) имеем |λ 2 /λ 1 | ≈ 0.536.Im0ReРис. 3.24. С помощью подходящих сдвигов любую крайнююточку спектра можно сделать наибольшей по модулю.Поскольку спектр симметричной (эрмитовой) матрицы лежит навещественной оси, то к таким матрицам имеет смысл применять вещественныесдвиги. В частности, при этом для симметричных веще-
416 3. Численные методы линейной алгебрыственных матриц алгоритмы будут реализовываться в более простойвещественной арифметике.С помощью сдвигов матрицы можно любое её собственное значение,которое является крайней точкой выпуклой оболочки спектра, сделатьнаибольшим по модулю, обеспечив, таким образом, сходимость к немуитераций степенного метода. Но как добиться сходимости к другим собственнымзначениям, которые лежат «внутри» спектра, а не «с краю»?Здесь на помощь приходят обратные степенные итерации.Обратные степенные итерации сходятся к ближайшей к нулю точкеспектра матрицы, и такой точкой с помощью подходящего сдвигаможет быть сделано любое собственное число. В этом — важное преимуществосдвигов для обратных степенных итераций.Другое важное следствие сдвигов — изменение отношения |λ 2 /λ 1 |,величина которого влияет на скорость сходимости степенного метода.Обычно с помощью подходящего выбора величины сдвига ϑ можнодобиться того, чтобы∣ λ 2 +ϑ∣λ 1 +ϑбыло меньшим, чем |λ 2 /λ 1 |, ускорив тем самым степенные итерации.Совершенно аналогичный эффект оказывает удачный выбор сдвига наотношение |λ n /λ n−1 |, которое определяет скорость сходимости обратныхстепенных итераций.3.17д Метод Якоби для решения симметричнойпроблемы собственных значенийВ этом параграфе мы рассмотрим численный метод для решениясимметричной проблемы собственных значений, т. е. для вычислениясобственных чисел и собственных векторов симметричных матриц. Онбыл впервые применён К.Г. Якоби в 1846 году к конкретной 7 × 7-матрице, а затем был забыт на целое столетие и вновь переоткрытлишь после Второй мировой войны, когда началось бурное развитиевычислительной математики.Идея метода Якоби состоит в том, чтобы подходящими преобразованиямиподобия от шага к шагу уменьшать норму внедиагональнойчасти матрицы. Получающиеся при этом матрицы имеет тот же спектр,что и исходная матрица, но будут стремиться к диагональной матрицес собственными значениями на главной диагонали. Инструментом реализацииэтого плана выступают элементарные ортогональные матрицы
Page 1 and 2:
С.П. ШарыйКурсВЫЧИС
Page 3 and 4:
Книга является сис
Page 5 and 6:
4 Оглавление2.6а Эле
Page 7 and 8:
6 Оглавление3.7г Мет
Page 9 and 10:
ПредисловиеПредст
Page 11 and 12:
10 1. ВведениеК.Г. Яко
Page 13 and 14:
12 1. Введениеи потом
Page 15 and 16:
14 1. ВведениеРассмо
Page 17 and 18:
16 1. ВведениеПоэтом
Page 19 and 20:
18 1. Введениеется та
Page 21 and 22:
20 1. ВведениеПусть р
Page 23 and 24:
22 1. Введениетем, чт
Page 25 and 26:
24 1. ВведениеВ частн
Page 27 and 28:
26 1. Введение(вектор
Page 29 and 30:
28 1. Введение✻f(X)✛X
Page 31 and 32:
30 1. Введението инте
Page 33 and 34:
32 1. Введениевать их
Page 35 and 36:
34 1. ВведениеЕстест
Page 37 and 38:
36 1. Введениематриц
Page 39 and 40:
38 1. Введениеции, та
Page 41 and 42:
40 1. Введение[29] Neumaier
Page 43 and 44:
42 2. Численные метод
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91:
Page 94 and 95:
2.6. Сплайны 93Чтобы з
Page 96 and 97:
2.6. Сплайны 95двух пе
Page 98 and 99:
2.7. Нелинейные мето
Page 100 and 101:
2.8. Численное диффе
Page 102 and 103:
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
2.9. Алгоритмическое
Page 120 and 121:
2.10. Приближение фун
Page 122 and 123:
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
2.11. Полиномы Лежанд
Page 136 and 137:
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
2.12. Численное интег
Page 146 and 147:
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
Page 152 and 153:
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
Page 162 and 163:
Page 164 and 165:
Page 166 and 167:
2.13. Квадратурные фо
Page 168 and 169:
Page 170 and 171:
Page 172 and 173:
Page 174 and 175:
Page 176 and 177:
Page 178 and 179:
Page 180 and 181:
Page 182 and 183:
2.14. Составные квадр
Page 184 and 185:
2.15. Сходимость квад
Page 186 and 187:
Page 188 and 189:
Page 190 and 191:
2.16. Вычисление инте
Page 192 and 193:
2.16. Вычисление инте
Page 194 and 195:
2.17. Правило Рунге д
Page 196 and 197:
Литература к главе
Page 198 and 199:
Page 200 and 201:
3.1. Задачи вычислит
Page 202 and 203:
3.2. Теоретическое в
Page 204 and 205:
Page 206 and 207:
Page 208 and 209:
Page 210 and 211:
Page 212 and 213:
Page 214 and 215:
Page 216 and 217:
Page 218 and 219:
Page 220 and 221:
Page 222 and 223:
Page 224 and 225:
Page 226 and 227:
3.3. Нормы векторов и
Page 228 and 229:
Page 230 and 231:
Page 232 and 233:
Page 234 and 235:
Page 236 and 237:
Page 238 and 239:
Page 240 and 241:
Page 242 and 243:
Page 244 and 245:
Page 246 and 247:
Page 248 and 249:
Page 250 and 251:
Page 252 and 253:
Page 254 and 255:
Page 256 and 257:
3.4. Приложения синг
Page 258 and 259:
Page 260 and 261:
Page 262 and 263:
3.5. Обусловленность
Page 264 and 265:
Page 266 and 267:
Page 268 and 269:
Page 270 and 271:
Page 272 and 273:
Page 274 and 275:
3.6. Прямые методы ре
Page 276 and 277:
Page 278 and 279:
Page 280 and 281:
Page 282 and 283:
Page 284 and 285:
Page 286 and 287:
Page 288 and 289:
Page 290 and 291:
Page 292 and 293:
Page 294 and 295:
Page 296 and 297:
Page 298 and 299:
3.7. Методы на основе
Page 300 and 301:
Page 302 and 303:
Page 304 and 305:
Page 306 and 307:
Page 308 and 309:
Page 310 and 311:
Page 312 and 313:
Page 314 and 315:
Page 316 and 317:
Page 318 and 319:
3.8. Метод прогонки 31
Page 320 and 321:
Page 322 and 323:
Page 324 and 325:
3.9. Стационарные ит
Page 326 and 327:
Page 328 and 329:
Page 330 and 331:
Page 332 and 333:
Page 334 and 335:
Page 336 and 337:
Page 338 and 339:
Page 340 and 341:
Page 342 and 343:
Page 344 and 345:
Page 346 and 347:
Page 348 and 349:
Page 350 and 351:
Page 352 and 353:
Page 354 and 355:
Page 356 and 357:
3.10. Нестационарные
Page 358 and 359:
Page 360 and 361:
Page 362 and 363:
Page 364 and 365:
Page 366 and 367: 3.10. Нестационарные
Page 374 and 375: 3.11. Методы установл
Page 376 and 377: 3.12. Теория А.А. Сама
Page 378 and 379: 3.12. Теория А.А. Сама
Page 380 and 381: 3.13. Вычисление опре
Page 382 and 383: 3.14. Оценка погрешно
Page 384 and 385: 3.14. Оценка погрешно
Page 386 and 387: 3.16. Проблема собств
Page 404 and 405: 3.17. Численные метод
Page 430 and 431: Литература к главе
Page 432 and 433: Литература к главе
Page 434 and 435: Глава 4Решение нели
Page 436 and 437: 4.2. Вычислительно-к
Page 446 and 447: 4.3. Векторные поля и
Page 456 and 457: 4.4. Классические ме
Page 466 and 467:
4.4. Классические ме
Page 468 and 469:
4.5. Классические ме
Page 470 and 471:
4.6. Интервальные ли
Page 472 and 473:
4.7. Интервальные ме
Page 474 and 475:
Page 476 and 477:
Page 478 and 479:
Page 480 and 481:
Page 482 and 483:
4.8. Глобальное реше
Page 484 and 485:
Page 486 and 487:
Page 488 and 489:
Page 490 and 491:
Page 492 and 493:
Обозначения 491IR n мн
Page 494 and 495:
Обозначения 493DO WHILE
Page 496 and 497:
Обозначения 495Бюфф
Page 498 and 499:
Обозначения 497Кузь
Page 500 and 501:
Обозначения 499Рэле
Page 502 and 503:
Обозначения 501Штиф
Page 504 and 505:
Предметный указате
Page 506 and 507:
Предметный указате
show all

С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?