С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

116 2. Численные методы анализаРис. 2.16. Возмущение функции добавкой 1 n sin(nx).формулой вида 13 f (k) (x) = h −k∑ ic i f(x i )+R k (f,x), (2.79)где c i = O(1) при h → 0. Если эта формула имеет порядок точности p,то её остаточный член оценивается как R k (f,x) ≈ c(x)h p . Этот остаточныйчлен определяет «идеальную» погрешность численного дифференцированияв отсутствие ошибок вычисления функции, и он неограниченноубывает при h → 0.Но если погрешность вычисления значений функции f(x i ) в узлахравна δ, то в правой части (2.79) возникает ещё член, абсолютная величинакоторого совершенно аналогично (2.77) оценивается сверху какδh −k∑ i|c i |.Она неограниченно возрастает при h → 0. В целом график полной вычислительнойпогрешности численного дифференцирования выглядитв этом случае примерно так, как на Рис. 2.15.Практический вывод из сказанного состоит в том, что существуетоптимальный шаг h численного дифференцирования, минимизирующийполную вычислительную погрешность, и брать слишком маленькоезначение шага h в практических расчётах нецелесообразно.13 Для примера можно взглянуть на те формулы, которые приведены в §2.8а.