С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 239Предложение 3.3.5 Для любой фиксированной векторной нормы ‖·‖соотношением‖A‖ ′ ‖Ax‖= sup(3.21)x≠0 ‖x‖задаётся матричная норма.Доказательство. Отметим прежде всего, что в случае конечномерныхвекторных пространств R n и C n вместо «sup» в выражении (3.21)можно брать «max». В самом деле,‖Ax‖supx≠0 ‖x‖= supx≠0∥ A x∥‖x‖∥ = sup‖y‖=1‖Ay‖,а задаваемая условием ‖y‖ = 1 единичная сфера любой нормы замкнутаи ограничена, т. е. компактна в R n или C n [40, 50]. Непрерывнаяфункция ‖Ay‖ достигает на этом компактном множестве своего максимума.Таким образом, в действительности‖A‖ ′ = maxx≠0‖Ax‖‖x‖= max‖y‖=1 ‖Ay‖.Проверим теперь для нашей конструкции выполнение аксиом нормы.Если A ≠ 0, то найдётся ненулевой вектор y, такой что Ay ≠ 0.Ясно, что его можно считать нормированным, т. е. ‖y‖ = 1. Тогда‖Ay‖ > 0, и потому max ‖y‖=1 ‖Ay‖ > 0, что доказывает для ‖·‖ ′ первуюаксиому нормы.Абсолютная однородность для ‖·‖ ′ доказывается тривиально. Покажемдля (3.21) справедливость неравенства треугольника. Очевидно,‖(A+B)y‖ ≤ ‖Ay‖+‖By‖,и потомуmax‖y‖=1( )‖(A+B)y‖ ≤ max ‖Ay‖+‖By‖‖y‖=1≤ max ‖Ay‖+ max ‖By‖,‖y‖=1 ‖y‖=1что и требовалось.