С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.7. Интервальные методы решения уравнений 4714.7 Интервальные методы решенияуравнений и систем уравненийИнтервальные методы позволяют придать конструктивный характернекоторым известным результатам математического анализа, которыераньше рассматривались как «чистые» теоремы существования.Самым первым из них являетсяТеорема 4.7.1 (теорема Брауэра о неподвижной точке) Пусть D —выпуклое компактное множество в R n . Если непрерывное отображениеg : R n → R n переводит D в себя, g(D) ⊆ D, то оно имеет на Dнеподвижную точку x ∗ , т.е. такую что x ∗ = g(x ∗ ).Если вместо произвольных выпуклых компактов ограничиться интервальнымивекторами-брусами в R n , а для оценивания области значенийприменять его внешнюю оценку в виде интервального расширения,то условия теоремы Брауэра могут быть конструктивно проверенына компьютере.С учётом сказанного выше во введении к главе (стр. 434) о равносильностирекуррентного вида систем уравнений (4.4) каноническойформе (4.1)–(4.2) чрезвычайно полезными для вычислительной математикиоказываются результаты анализа, утверждающие существованиенеподвижных точек отображений. Теорема Брауэра является именнотаким результатом.4.7а Основы интервальной техникиЗадача решения уравнений и систем уравнений является одной изклассических задач вычислительной математики, для решения которойразвито немало эффективных подходов — метод простой итерации,метод Ньютона, их модификации и т.п. Преимущества и недостаткиэтих классических методов мы обсудили выше в §§4.4–4.5 (см. также[5, 27, 31, 42]). Для дальнейшего нам важны два факта:• Для уравнений, в которых фигурируют функции, не обладающие«хорошими» глобальными свойствами, все традиционные методыимеют локальный характер, т. е. обеспечивают отысканиерешения, находящегося в некоторой (иногда достаточно малой)окрестности начального приближения. Задача нахождения всех