С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 249‖A‖. Получим‖A‖·‖v‖ ≥ ‖Av‖ = ‖λv‖ = |λ|·‖v‖, (3.26)где ‖v‖ > 0, и потому сокращение на эту величину обеих частей неравенства(3.26) даёт ‖A‖ ≥ |λ|. Коль скоро наше рассуждение справедливодля любого собственного значения λ, то в самом деле maxλ =ρ(A) ≤ ‖A‖.Рассмотрим теперь случай вещественной n×n-матрицы A. Если λ— её вещественное собственное значение, то проведённые выше рассужденияостаются полностью справедливыми. Если же λ — комплексноесобственное значение матрицы A, то комплексным является и соответствующийсобственный вектор v. Тогда цепочку соотношений (3.26)выписать нельзя, поскольку согласованная векторная норма определеналишь для вещественных векторов из R n .Выполним комплексификацию рассматриваемого линейного пространства,т. е. вложим его в более широкое линейное векторное пространствонад полем комплексных чисел. В формальных терминах мыпереходим от R n к пространству R n ⊕ iR n , где i — мнимая единица(т. е. скаляр, обладающий свойством i 2 = −1), iR n — это множествовсех произведений iy для y ∈ R n , а «⊕» означает прямую сумму линейныхпространств (см. [10, 23, 35, 83]).Элементами R n ⊕ iR n служат упорядоченные пары (x,y) ⊤ , где x,y ∈ R n . Сложение и умножение на скаляр (α +iβ) ∈ C определяютсядля них следующим образом(x,y) ⊤ +(x ′ ,y ′ ) ⊤ = (x+x ′ ,y +y ′ ) ⊤ , (3.27)(α+iβ)·(x,y) ⊤ = (αx−βy,αy +βx) ⊤ . (3.28)Введённые пары векторов(x,y) ⊤ обычно записывают в видеx+iy, причёмx и y называются соответственно вещественной и мнимой частямивектора из R n ⊕iR n . Линейный оператор, действующий на R n ⊕iR n ипродолжающий линейное отображение на R n , порождаемое матрицейA, может быть представлен в матричном виде какA =( A 00 A). (3.29)Его блочно-диагональный вид объясняется тем, что согласно формуле(3.28) для любого α ∈ Rα·(x,y) ⊤ = (αx,αy) ⊤ ,