С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

420 3. Численные методы линейной алгебрыПредложение 3.17.3 Пусть преобразование подобия матрицы A спомощью матрицы вращений G таково, что в матрице B = G ⊤ AGзануляются элементы в позициях (p,q) и (q,p). ТогдаND 2 (B) = ND 2 (A)−2a 2 pq . (3.148)Итак, в сравнении с матрицей A в матрице B изменились элементыстрок и столбцов с номерами p и q, но фробениусова норма недиагональнойчасти изменилась при этом так, как будто кроме зануленияэлементов a pq и a qp ничего не произошло.Доказательство. Для 2×2-подматрицы(app a pqa qp a qq)из матрицы A и соответствующей ей 2×2-подматрицы(bpp 00 b qq)в матрице B справедливо соотношениеa 2 pp +a2 qq +2a2 pq = b2 pp +b2 qq ,так как ортогональным преобразованием подобия фробениусову нормаматрицы не изменяется. Но, кроме того, ‖A‖ 2 F = ‖B‖2 F , и потомуND 2 (B) = ‖B‖ 2 F − n ∑= ‖A‖ 2 F −i=1b 2 ii( n∑i=1= ND 2 (A)−2a 2 pq ,a 2 ii − ( a 2 pp +a 2 (qq)+ b2pp +b 2 ) )qqпоскольку на диагонали у матрицы A изменились только два элемента— a pp и a qq .