С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

42 2. Численные методы анализаРис. 2.1. Различие задач интерполяции и приближения функций.класс функций G. Требуется найти функцию g(x) из G, которая в определённомзаранее смысле «достаточно близка» (или даже «наиболееблизка») к данной функции f(x). В зависимости от смысла, которыйвкладывается в понятие «близости» функций, в зависимости от того,какие именно функции образуют классы F и G, здесь могут получатьсяразличные конкретные постановки задач. При этом полезно наделятьрассматриваемые классы функций дополнительной структурой, например,считать, что они являются линейными векторными пространствамис нормой и т. п. Наконец, часто имеет место включение G ⊂ F.При уточнении понятий «близости» функций и «отклонения» однойфункции от другой обычно вводят множество значений аргументов X,на котором значения этих функций сравниваются друг с другом. X —это подмножество области определения функций, которое может совпадатьсо всей этой областью определения, но может также быть егонебольшой частью, скажем, конечным набором точек. В последнем случаеговорят о дискретной задаче приближения.Задача интерполирования получается из приведённой выше общейформулировки в случае, когда «близость» означает совпадение функцийf и g на некотором дискретном множестве точек x 0 , x 1 , . . . , x n изпересечения их областей определения. От функции f при этом требуютсялишь значения на этом множестве точек, и потому при постановкезадачи интерполяции она сама часто даже не фигурирует. Вместо fобычно задаются лишь её значения y 0 , y 1 , . . . , y n в точках x 0 , x 1 , . . . ,x n соответственно.Задача приближения функций (называемая также задачей аппроксимациифункций) является частным случаем общей формулировки, вкотором «близость» понимается как малое отклонение значений функ-