С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

398 3. Численные методы линейной алгебрыТеорема 3.16.2 (теорема Гершгорина) Все собственные значенияλ(A)любой вещественной или комплексной n × n-матрицы A = (a ij ) расположеныв объединении кругов комплексной плоскости с центрамиa ii и радиусами ∑ j≠i |a ij|, i = 1,2,...,n, т.е.λ(A) ∈n⋃i=1{z ∈ C ∣ |z −aii | ≤ ∑ }j≠i |a ij| .Фигурирующие в условиях теоремы круги комплексной плоскости{z ∈ C ∣ |z −a ii | ≤ ∑ }j≠i |a ij| , i = 1,2,...,n,называются кругами Гершгорина матрицы A = (a ij ). Можно дополнительнопоказать (см., к примеру, [42, 50, 95]), что если объединениекругов Гершгорина распадается на несколько связных, но непересекающихсячастей, то каждая такая часть содержит столько собственныхзначений матрицы, сколько кругов её составляют.Нетрудно продемонстрировать, что теорема Гершгорина равносильнапризнаку Адамара неособенности матриц (Теорема 3.2.2). В самомделе, если матрица имеет диагональное преобладание, то её круги Гершгоринане захватывают начала координат комплексной плоскости, апотому в условиях теоремы Гершгорина матрица должна быть неособенной.Обратно, пусть верен признак Адамара. Если λ — собственноезначение матрицы A = (a ij ), то матрица (A−λI) особенна и потому неможет иметь диагональное преобладание. Как следствие, хотя бы дляодного i = 1,2,...,n должно быть выполнено|λ−a ii | ≤ ∑ j≠i|a ij |, i = 1,2,...,n.Этими условиями и определяются круги Гершгорина.Пример 3.16.5 Для 2×2-матрицы (3.10)( ) 1 2,3 4рассмотренной в Примере 3.1.3 (стр. 218), собственные значения суть12 (5 ± √ 33), они приблизительно равны −0.372 и 5.372. На Рис. 3.23,